Necesitaria que me ayuden a resolver estos ejercicios.
http://img810.imageshack.us/i/imagen1na.jpg/
Gracias!.
Tema
Pol. de Taylor
en todo caso me parece que podrías postear alguna duda mas global, o preguntar sobre como son los polinomios de Taylor.
Te dejo la expresión para el Polinomio:
\(P(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f^{(3)}}{3!}(x_{0})(x-x_{0})^{3}+....+ R(x)\)
o en general:
\(P(x)=f(x_{0})+ \sum_{i=1}^{n} \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\) (Sumándole la expresión del resto)
Después si puedo te tiro algunos hints para los problemas esos puntualmente.
P.D.:Minimamente el \(4\) lo preguntó Jons Jacob y la idea general está en: [Dudas]P. de Taylor e Integrales.
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Trata de hacer alguno y mostrá lo que hayas hecho así te ayudamos.
Salu2!
¿Cuál es la idea del 3? Pensé algo, pero creo que es fruta (son todos supuestos)
Como por ejemplo que el denominador tiene que ser mayor que 125 porque \(0,008=\frac {1}{125}\) y cuando derivamos más de 4 veces, siempre queda \(e^{x}\). Entonces con dividir por un \(6!\) ya sería menor, pero como dije suena cualquiera 😄
No tengo ganas de hacer cuentas. Pero me parece que la mano viene por ahi. Pro probar... No perdés nada con probar jajaja ! Solo tenes que calcular 😛
Pero deberías dar el grado mínimo, no?
Claro, el tema es que ninguna de las derivadas de \(f(x)\) te da un número para multiplicar en el denominador. Entonces si te armas un \(P_{4}(x)\), cuando calculas el resto te queda \(<\frac {e}{5!}\) que es más grande que 0,008. Bueno, creo que se entendió, sino edito que estudiar japonés y escribir en el foro no es lo más recomendable para ustedes.
Si probás a mano con el pol de Taylor de grado 1, el resto es más grande que la cota que te dan (lo cual es de suponer), pero probando para un "n" mayor o igual a 2, te armás la expresión del resto, que es:
\(R_{n}(1) = \frac{{f}^{(n+1)}_{(c)} \, . \, {1}^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{e^{c}}{(n+1)!}\) (A partir de la derivada tercera de f, las derivadas valen todas \(e^x\)).
$$0< c <1$$
Luego, \(\frac{e^{c}}{(n+1)!} < \frac{e}{(n+1) n!} < \frac{1}{125} \Longleftrightarrow 125 e < (n+1) n!\)
Y el primer n que verifica esa inecuación es \(n=5\).
Por lo tanto, el grado mínimo del polinomio de Taylor de f debe ser 5.
Se entendió??