Posteo el ejercicio 3, que veo que nadie lo resolvió(¿�aso por lo trivial que es?), que requiere cierto ''truco'' para demostrarlo. Espero que les sirva
$$\textrm{Probar\;que\;si}\;f,\;\textrm{real,\;es}\;{C}^{3}\;\textrm{en\;un\;abierto}\;D\subset\mathbb{R}^{3},\;\textrm{vale:}$$
$${f}_{yxx}(x,y,z)\eq={f}_{xxy}(x,y,z)\eq={f}_{xyx}(x,y,z)\;\forall\;(x,y,z)\;\in\;D$$
$$\textrm{Sea\;la\;funcion}$$
$$S(h,k)\eq={f}_{x}({x}_{0}+h,{y}_{0}+k,{z}_{0})-{f}_{x}({x}_{0},{y}_{0}+k,{z}_{0})-{f}_{x}({x}_{0}+h,{y}_{0},{z}_{0})+{f}_{x}({x}_{0}h,{y}_{0},{z}_{0})$$
$$\textrm{Noten\;la\;buena\;expresion\;de\;la\;misma\;para\;h,\;k\;suficientemente\;chicos}$$
$$\textrm{Ademas,\;es\;diferenciable\;dos\;veces\;y\;continua\;cada\;derivada\;para\;tales\;h,\;k}$$
$$\textrm{Sea}\;g(x)\eq={f}_{x}(x,{y}_{0}+k,{z}_{0})-{f}_{x}(x,{y}_{0},{z}_{0})$$
$$\textrm{Noten\;la\;buena\;expresion\;de\;g,\;continua\;y\;diferenciable\;para\;k\;suficientemente\;chico}$$
$$\textrm{Sustituyendo\;en}\;S:$$
$$S(h,k)\eq=g({x}_{0}+h)-g(x)$$
$$\textrm{Nuevamente\;bajo\;h,\;k\;chicas\;vale\;Lagrange,\;en\;una\;variable,\;x:}$$
$$S(h,k)\eq=g({x}_{0}+h)-g(x)\eq={g}_{x}({x}_{1})\cdot\;h,\;h\in({x}_{0},{x}_{0}+h)$$
$$S(h,k)\eq={g}_{x}({x}_{1})\cdot\;h\eq=({f}_{xx}({x}_{1},{y}_{0}+k,{z}_{0})-{f}_{xx}({x}_{1},{y}_{0},{z}_{0}))\cdot\;h$$
$$\textrm{Aplico\;ahora\;Lagrange\;en\;variable\;y:}$$
$$S(h,k)\eq={f}_{xxy}({x}_{1},{y}_{1},{z}_{0})\cdot\;h\cdot\;k,\;{y}_{1}\in({y}_{0},{y}_{0}+k)$$
$$\textrm{Si\;h,\;k\;no\;son\;nulos,\;vale:}$$
$$\frac{S(h,k)}{h\cdot\;k}\eq={f}_{xxy}({x}_{1},{y}_{1},{z}_{0})$$
$$\textrm{Por\;ser\;continua,\;vale}(h,k)\rightarrow(0,0),\Rightarrow\;({x}_{1},{y}_{1})\rightarrow({x}_{0},{y}_{0})$$
$$\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\frac{S(h,k)}{h\cdot\;k}\eq={f}_{xxy}({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$$
$$\textrm{Si\;ahora\;toman}\;m(y)\eq={f}_{x}({x}_{0}+h,y,{z}_{0})-{f}_{x}({x}_{0},y,{z}_{0})$$
$$\textrm{y\;aplican\;un\;razonamiento\;analogo\;al\;hecho,\;llegan:}$$
$$\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\frac{S(h,k)}{h\cdot\;k}\eq={f}_{xyx}({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$$
$$\textrm{Luego\;tales\;limites\;coinciden\;obteniendose:}$$
$${f}_{xyx}({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})\eq={f}_{xxy}({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$$
$$...\textrm{que\;era\;parte\;de\;lo\;que\;queriamos\;probar.\;Para\;probar\;la\;igualdad\;que\;falta,\;tomen:}$$
$$R(h,k)\eq={f}_{y}({x}_{0}+h,{y}_{0}+k,{z}_{0})-{f}_{y}({x}_{0},{y}_{0}+k,{z}_{0})-{f}_{y}({x}_{0}+h,{y}_{0},{z}_{0})+{f}_{y}({x}_{0}h,{y}_{0},{z}_{0})$$
$$...\textrm{y\;procediendo\;analogamente\;llegan\;a\;la\;igualdad\;restante}\;\Box$$
Espero que les haya sido claro y útil.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities