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[Resuelto]Prac 5 Ej 20

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#1 Nico?

Pensaba hacer tambien el 21, pero sospecho que hay un error en el enunciado..

$$20) \text{ Sea } f \text{ de } \text{clase } c^2 \text{ tal } \text{que} :$$
$$f(0,1) = 0, \nabla f(0,1) = (0,2) , \text{Hf}(0,1) = \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right)$$
$$g(x,y) = 3x^2y + e^{f(x,y)}-2y$$
$$a)\text{Calcular } \text{Hg}(0,1)$$

No hay mucho misterio, se procede de forma normal, saco las parciales hasta segundo orden de g:

$$G_x = 6\text{xy} + F_x(x,y)e^{f(x,y)}$$
$$G_y = 3x^2 + F_y(x,y)e^{f(x,y)} -2$$
$$G_{\text{xx}} = 6y + F_{\text{xx}}(x,y)F_x(x,y)e^{f(x,y)}$$
$$G_{\text{xy}} = 6x + F_{\text{xy}}(x,y)F_y(x,y)e^{f(x,y)}$$
$$G_{\text{yy}} =\text{ }F_{\text{yy}}(x,y) F_y(x,y)e^{f(x,y)}$$

Ok, ahora evaluo las derivadas segundas para armar el Hg(0,1):

$$G_{\text{xx}} = 6\cdot 1 + F_{\text{xx}}(0,1)F_x(0,1)e^{f(0,1)}$$

Del enunciado se que:

$$f(0,1) = 0$$

\(F_x(0,1) = 0\) (por ser la primer coordenada del gradiente de f)

\(F_{\text{xx}}(0,1) = 1\) (porq asi lo dice el Hf(0,1))

Entonces

$$G_{\text{xx}}(0,1) = 6$$

Para los otros elementos del Hg(0,1) se procede IGUAL y queda asi:

$$\text{Hg}(0,1) = \left(\begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & 4 \end{array}\right)$$
$$\textrm{¿Tiene g un extremo relativo en }(0,1) \text{?}$$

Buen, con el ejercicio de arriba, ya sabemos Hg(0,1) y el determinante da 20, que es mayor que cero y como la coordenada correspondiente a \(F_{xx}\) es positiva, entonces tiene un minimo relativo estricto.............si solo si el gradiente de g es nulo en el (0,1), asi que chequiemos eso:

$$G_x(0,1)= F_x(0,1)e^{f(0,1)}$$
$$G_y (0,1) = F_y(0,1)e^{f(0,1)} -2$$
$$G_x(0,1)= 0$$
$$G_y (0,1) = 2 - 2 = 0$$
$$\nabla g(0,1) = (0,0)$$

Entonces si, g tiene un minimo relativo estricto en (0,1)

#2 floyd

Están mal las derivadas segundas. La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera por la segunda sin derivar más el producto de la primera sin derivar por la derivada de la segunda.
La derivada segunda respecto de x dos veces es:

$${G}_{xx} \eq= 6y + {e}^{f\left(x,y\right)} . {f}_{x}\left(x,y\right) . {f}_{x}\left(x,y\right) + {e}^{f\left(x,y\right)} . {f}_{xx}\left(x,y\right)$$

y así con el resto.
Otra acalaración: cuando piden calcular el Hessiano, creo que piden calcular la forma cuadrática Hessiano, y no su matriz asociada.
Haciendo las correcciones sobre las derivadas igual se llega a la conclusión de que g(0,1) es un extremo local.

Saludos!

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God´s in his Heaven. All´s right with the world.

#3 Nico?

Jajaja, esta bien, yo no lo derive, fue el Mathematica... ya no se puede confiar en la tecnologia!! (ni en mi q no chequea lo q hace)

#4 ragatsi

De que año es esa guia??? Porque yo tengo otro ejercicio en el 20

#5 Mr. Satán

ragatsi escribió:

De que año es esa guia??? Porque yo tengo otro ejercicio en el 20

Seguro es la guía de 2008. En la nueva guía es el ejercicio 26.

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