Hoy no posteo ningun ejercicio resuelto, simplemente porq NO TENGO IDEA DE COMO HACER NADA!!!
Llamo a la solidaridad de la gente del foro a q explique algunos ejercicios de este tema, que me re colgue y ahora no entiendo..
Me parece que mi problema principal es el darme cuenta como tomar la funcion G, la restrictiva. En los ejercicios tipo el 2, ya te da la funcion a usar, pero en los casos que los limites son un cuadrado, u otra cosa, ya hago agua:
Como ej:
(Calcular los extremos de f restringidos a A)
\(1)c) f(x,y) = 2x^{2} - xy + y^{2} + 7x\) \(A={(x,y) \in \mathbb{R}^{2} / |x|\leq 3, |y|\leq 3 }\)
No me acuerdo como esconder la solución, así que va sin tags... alguien agréguela después, si tiene ganas.
Para empezar, el cuadrado es un compacto (cerrado y acotado en el plano), así que una función continua alcanza máximo y mínimo. Ahora, ese máximo puede estar en el interior o en el borde. Si está en el interior, como es un extremo de todo el cuadrado, es un extremo local, y por lo tanto el gradiente se anula en ese punto. Me fijo entonces \(\nabla f (x,y) = (4x-y +7, -x +2y) = (0,0)\). De ahí sale un único punto: \(y = -1 x = -2\). Notar que el punto \((-2,-1)\) está en el cuadrado. Si saltaba el (11111,444), no lo tomaba en cuenta, porque no está en el cuadrado.
Ahora hay que ver los bordes. Hay dos maneras de hacerlo. Una es la fácil, que anda justo en este caso, y otra es multiplicadores de Lagrange (descubiertos por Euler 50 años antes de Lagrange, pero en fin). Como un cuadrado tiene cuatro lados, par(t)imos la diferencia.
Fijate que un lado del cuadrado es una restricción de la forma \(x = 3, -3 \leq y \leq 3\). Mandamos el \(\leq\) al demonio un rato, y nos concentramos en que \(x = 3\). Como nos restringimos a la recta x = 3, reemplazamos, y le buscamos máximos y mínimos a \(2(3)^2-3y+y^2+7(3) = y^2 - 3y + 39\), que es la función restringida a los puntos con \(x = 3\). Eso tiene extremos únicamente en \(y = \frac{3}{2}\). Así que otro punto sospechoso es \((3,\frac{3}{2})\). Haciendo el mismo análisis para \(x = -3\) salta el punto \((-3,\frac{-3}{2})\).
ahora hagamos los y con multiplicadores de Lagrange. Notar que la restricción es entonces \(y = 3\), o sea \(y - 3 = 0\). Su gradiente es obviamente el \((0,1)\), así que buscamos soluciones a la ecuación \(\nabla f (x,y) = (4x-y +7, -x +2y) = (0,\lambda)\). Despejando tenemos que \(y = 4x+7\) y reemplazando, \(-x+2(4x+7) = \lambda\). Por otro lado, \(y = 3\), así que \(x = -1\) y el \(\lambda\) no me importa. Saltó entonces el punto \((-1,3)\). Haciendo lo mismo para \(y = -3\) salta el punto \((- \frac{10}{4}, -3)\). Notar que todos los puntos nos cayeron dentro del cuadrado.
Ahora, nos acordamos del \(\leq\) famoso que habíamos tirado. Así como cuando buscamos extremos de una función en el intervalo [a,b], hay que mirar los extremos, también hay que mirar aquí los "extremos" que nos da la desiguladad, en este caso los puntos \((3,3); (-3,3); (3,-3); (-3,-3)\). Evaluando en todos los puntos tenemos que
Alguien haga la cuenta. Ahora, si hay un máximo en todo el cuadrado, deberá ser un máximo local, o restringido a los bordes... así que es alguno de los puntos que saltó. Evalúen, y el que dé más grande es el máximo, el que dé más pequeño es el mínimo. Fin.
"Despejando tenemos que \(y = 4x+7\) y reemplazando, \(-x+2(4x+7) = 7x+7 \lambda\). Por otro lado, \(y = 3\), así que \(x = -1\) y el \(\lambda\) no me importa."
eso está mal despejado si no me equivoco,igual no importa ese despeje porq lambda es irrelevante teniendo y=3,asiq da igual...
de servir el despeje,sería : \(-x+2(4x+7) = \lambda\). Entonces : \(7x+14= \lambda\) Y queda finalmente: \(x= \lambda/7 + 7\).
Arreglé el despeje que estaba mal, pero si x = -3, la función te queda \(y^2 + 3y + ctte\), así que al derivar e igualar a cero tenés \(2y = -3\). De ahí sale \(y = -3/2\).
Si está en el interior, como es un extremo de todo el cuadrado, es un extremo local, y por lo tanto el gradiente se anula en ese punto. Me fijo entonces \(\nabla f (x,y) = (4x-y +7, -x +2y) = (0,0)\).
soy medio burra y no entiendo nada de nada de analisis asi que la mia seguramente es una pregunta muy tonta pero no entiendo lo que dice ahi....en realidad lo que no entiendo es por que es un extremo local y por que en el (0,0)
Es porq los puntos donde se anula el Gradiente son puntos criticos, que pueden ser o extremos locales o puntos silla. Lo q esta buscando con esa ecuacion que pusiste, son los puntos donde el gradiente se hace (0,0) y esos son o max o min o punto silla.. Ahora esto va a pasar solo dentro del cuadrado... porq en el borde puede haber otros extremos pero no necesariamente el gradiente se anula ahi y para eso existe Lagrange entre otras cosas....
cualquier cosa lo vemos desp
Lo que pasa es que una función \(f:D\subset\;\mathbb{R}^{2}\rightarrow\;\mathbb{R}^{2}\), diferenciable en \(D\), abierto, satisface que de tener un extremo, es un punto crítico, el cual se define como \((x,y)\in\;D,\;tal\;que\;\nabla f(x,y)\eq=(0,0)\). En pocas palabras, es como pasaba en una variable, donde para hallar los extremos de la función buscabas los puntos críticos de la misma, que eran tales puntos donde la derivada se anulaba, o donde no era derivable. En \(D\subset \mathbb{R}^{n}\) pasa lo ''mismo'', buscas los puntos donde el gradiente se anula, o los puntos donde la función no es diferenciable. Estos son puntos críticos de la función.
En el ejercicio, donde tenés un ''cuadrado cerrado'', tenés un conjunto cerrado; luego, como explicó Yossarian, buscás en el ''interior'' del ''cuadrado'', que es un conjunto abierto. Como la función del problema, particularmente, es diferenciable dentro del cuadrado, de tener un extremo local en el interior del cuadrado(es decir, un extremo no necesariamente absoluto), es punto crítico y el gradiente se anula.
Se separa el borde del cuadrado, debido a que el criterio ''no sirve'' allí. En estos puntos o usas multiplicadores de Lagrange o expresás todo en función de una variable y trabajás en una variable, derivando e igualando a cero(en este ejercicio, usar Lagrange es exagerado; anda mejor en curvas o superficies de nivel no lineales).
Espero haber ayudado a aclarar dudas.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Este tema de Lagrange parece q cayo dificil a muchos, nose q paso la verda, porq es algo re simple si te pones a pensarlo... pero igual, genero muchas dudas tendiendo a infinito.. =S
Despejando tenemos que \(y = 4x+7\) y reemplazando, \(-x+2(4x+7) = \lambda\). Por otro lado, \(y = 3\), así que \(x = -1\) y el \(\lambda\) no me importa. Saltó entonces el punto \((-1,3)\). Haciendo lo mismo para \(y = -3\) salta el punto \((- \frac{10}{4}, -3)\). Notar que todos los puntos nos cayeron dentro del cuadrado.
no entiendo para que igualamos los gradientes inventamos un \(\lambda\) para luego hacer un monton de cosas locas (que no aparecen escritas y me rompi el coco intentando sacar de donde vienen) e ignorar el landa y todo eso
por que en ralidad lo que hicimos fue \(\bigtriangledown f =\bigtriangledown g\) donde \(\bigtriangledown g = (0,1)\) sin ningun \(\lambda\) y dsps remplazamos el Y=3 (que tenias desde u principio) en la primera parte de esa igualacion que no queda 4X-Y+7=0-----> asi es que nos da el X=-1
....no entiendo nada
y aparte becker le habla a solo una persona en todo el curso cuando da clases y no le entendi nada desde la primera clase 😐
no hicimos \(\nabla f = \nabla g\). En este caso las cuentas se simplificaron porque uno de los términos del gradiente daba 0. El lambda aparece por lo siguiente. Imaginate que en lugar de \(f\) tenés \(f' = 2f\). Entonces \(f'\) alcanza máximo y mínimo en los mismos lugares que \(f\) (si eso no queda claro, se puede pensar en una variable... la idea es la misma con varias). Pero entonces no podés tener los gradientes iguales, porque tenés \(\nabla f' = 2 \nabla f = \nabla g\).
Por otro lado, que dos vectores sean múltiplos quiere decir que son paralelos. Que \(v = \lambda w\) quiere decir que \(v\) apunta en la misma dirección que \(w\). El teorema de los multiplicadores lo que dice es que cuando f alcanza su máximo en una restricción, entonces su gradiente es paralelo (por ahí con sentido opuesto) al gradiente de la función que da la restricción. En general el \(\lambda\) no necesitás averiguarlo, pero la ecuación correcta es \(\nabla f = \lambda \nabla g\). Fijate que (si \(f\) y \(g\)son de dos variables, por ejemplo), \(\lambda\) es una nueva incógnita, pero te agrega dos ecuaciones, así que agrega más ecuaciones que incognitas, y siempre sirve.