[A resolver] Practica 6 ejercicio 1 a)

Bueno el enunciado es el mismo: encontrar los extremos absolutos f|A en el sig caso:

yo lo que hice fue sacar el gradiente de F, igualarlo a 0...

y me queda que las soluciones son \(x = y...\)con la reeestriccion q me dá A, x>0 e y>0

Ahora...que hago? jajaj, puedo decir q todos los puntos esos son mínimos absolutos porq la función es monótona creciente??

O teng q hacer el Hessiano...de ser así como lo hago?

Todas las respuestas son bienvenidas 😄

PD: Creo q haciendo el Hessiano la det da 0 asiq,supongo q decir eso d la funcion creciente esta bien

dps el ejercicio 1 b) es igual pero con x>igual 0 y y>igual 0

como c hace?

En este caso, como el dominio es abierto, no necesitás usar multiplicadores de lagrange, porque no te restringís a ninguna superficie de nivel... en cambio, en el segundo caso, tenés que buscar máximos y mínimos también sobre los bordes. Fijate que justo esta función es siempre positiva, solo se anula en la diagonal y en los ejes, así que va a tener mínimo sobre los ejes y sobre la diagonal, y nunca va a alcanzar un máximo, porque si tomás, ponele, la recta \((x,2x)\), la función te queda \(x^4\), que es arbitrariamente grande. Propongo una nueva restricción: \(x^2 + y^2 \leq 1\).

Ojo, multiplicadores de Lagrange y demás vaina es nada más que una herramienta apra resolver un problema. Si vos sabés resolver un problema SIN usarlo, está perfecto. Hay que practicar el método, obviamente, pero tampoco es cuestión de sacar TOOOOOOOODOS los problemas de restricciones por multiplicadores de Lagrange. De hecho, el gran uso de M. de L. es cuando tenés restricciones espantosas donde cada variable es indepejable.

pero fijate... que si en el 2do caso (yo usé lagrange para y=0; x=0) tomo para el caso y=0 te queda por ejemplo una ecuación q no dice nada: \(x^3 = \lambda\) Supongo q lo q me quiere decir es q puedo tomar cualquier x(osea (x,0)) y todos esos van a ser minimos absolutos (de hecho eso es lo q pasa).

Por otro lado si lo hago para x=0 me va a quedar otra cosa q no me dice nada con respecto al y,asiq supongo tmb q seran todos minimos de la forma (0,y).

Faltaria analizar q pasa para el (0,0) como el gradiente en ese punto se me anula tambien estará incluido dentro d los minimos absolutos. De hecho el (0,0) es un caso particular de (0,y) o (x,0).

Es así o hay q hacer alguna otra cosita?

Osea cuando me fijo q por lagrange me queda una condición que no me dice nada (o mejor dicho, que no me pone ninguna condicion para x ó y) ¿Supongo q entonces puedo agarrar cualquiera de ese tipo y decir q son todos minimos?

Esa es mi duda remanente 😄

PD: esa restricción q propusiste era para usar lagrange? osea evaluas hasta esos puntos para q la funcion no se vaya a la mierda =P. Bueh yo lo hice directamente con y=0 y x=0,no se si estará bien...

Lo que te dice Lagrange es que todos esos puntos ''sin condición''(en realidad, hay una, y es que las coordenadas son positivas) son posibles extremos, pero no demuestra que lo sean. Tenés que probar que son extremos por tu cuenta. El punto en el que se te anula el gradiente no lo podés analizar por Lagrange o por el Hessiano, sino que aparte. Por último, usar Lagrange en este ejercicio es exagerado; observá, como dijo Yossarian, que es positiva en el dominio en el que se estudia la función. Claramente el mínimo absoluto lo alcanzaría en el 0, y es el valor que toma en todos los puntos que obtuviste; en consecuencia, probaste que son mínimos absolutos. El criterio del Hessiano y Lagrange ayudan a detectar puntos críticos, pero no determinan si son extremos(el del Hessiano si, pero si el determinante se anula,... nada se sabe.). En resumen; usar Lagrange sobre una restricción lineal es exagerado; usalo en superficies o curvas de nivel, como la restricción \({x}^{2}+{y}^{2}\leq1\) que quedó planteada