Bueno ésta es la primera vez que escribo en TeX. Hago el ejercicio 21 de la Práctica 4 que es medio largo y cuentero. Si alguien también lo hizo que me diga si está bien porque era un tanto distinto a los anteriores. 😕
Ejercicio 21
\(\textrm{Sea}\) \(f : {\mathbb{R}}^{2} \rightarrow {\mathbb{R}}^{2}\)
\(\textrm{a) Probar que existe una inversa de}\) \(f\) \(\textrm{en un entorno del punto}\) \(p = (5,6) = f(1,2)\) \(\textrm{, diferenciable en p.}\)
Primero verificamos que f(1,2) = (5,6) = p.
\(\bullet\) f es de clase \({C}^{1}\) pues existen sus derivadas parciales y son continuas en todo \({\mathbb{R}}^{2}\)
\(\bullet\) Calculemos ahora la Diferencial \(Df(x,y)\)
Calculemos el Jacobiano \(Jf(1,2)\)
Como el Jacobiano es distinto de cero y f es de clase \({C}^{1} \Rightarrow f : U \rightarrow V\) es biyectiva y \({f}^{-1}\) es de clase \({C}^{1}\) en \(V \Rightarrow {f}^{-1}\) es diferenciable en (5,6), con \({f}^{-1} : V \rightarrow U\).
\(\textrm{b) Sean}\) \(v=(\frac{1}{\sqrt{5}} , \frac{2}{\sqrt{5}}) , w=(\frac{2}{\sqrt{13}} , \frac{3}{\sqrt{13}})\) \(\textrm{vectores en}\) \(\mathbb{R}}^{2}\) \(\textrm{y}\) \(g : {\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) \(\textrm{una funcion diferenciable en}\) \(q = (1,2)\) \(\textrm{tal que}\) \(\frac{\partial g}{\partial v}(1,2)=4\) \(\textrm{y}\) \(\frac{\partial g}{\partial w}(1,2)=5\). \(\textrm{Calcular}\) \(D(g \circ {f}^{-1})(5,6)\)
Sabemos que \(D(g \circ {f}^{-1})(5,6) = Dg({f}^{-1}(5,6)) \circ D{f}^{-1}(5,6)\)
Calculemos
Nos falta calcular \(Dg(1,2)\) que ni la fórmula nos dan. Pero sacaremos la información de esta función de las derivadas direccionales que nos dieron.
Como \(g\) es diferenciable podemos calcular la derivada direccional respecto del vector \(v\) con la fórmula del producto escalar entre el gradiente de \(g\) y ese vector. Lo mismo podemos hacer con \(w\). Así, nos quedará un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas.
Sabemos que \(\bigtriangledown g(1,2) . v = 4 \Leftrightarrow {g}_{x}(1,2) . \frac{1}{\sqrt{5}} + {g}_{y}(1,2) . \frac{2}{\sqrt{5}} = 4\)
Análogamente para \(w\), \(\bigtriangledown g(1,2) . w = 5 \Leftrightarrow {g}_{x}(1,2) . \frac{2}{\sqrt{13}} + {g}_{y}(1,2) . \frac{3}{\sqrt{13}} = 5\)
Entonces armamos el sistema de ecuaciones:
Despejo \({g}_{x}(1,2)\) de \(\star\):
Reemplazo en \(\diamond\), y resulta
Entonces, armamos el gradiente de la función en el (1,2) y, por lo tanto,
Ahora sólo falta multiplicar las matrices y listo.
Respuesta:
