Bueno, sigo estrenando secciones del foro ! Aunque esta seccion esta hace rato, somos todos vagos para postear algo de analisis eh?
Este tema de Taylor no es dificil, pero es extremadamente engorroso el hecho de tener q sacar muchisimas derivadas parciales. Pero son solo cuentas, no hay q pensar nada 🙂
Los primeros dos ejercicios, son bastante basicos, son solo sacar derivadas parciales, y los dos que vienen no los hago porq no tengo ganas (el 4 en particular es larguisimo y no vale la pena (si un profesor esta leyendo esto, por favor NO ponga un ejercicio asi en el parcial solo porq dije q no valia la pena! (sino hay tabla)))
Mi idea no es hacer todos los subpuntos de cada ejercicio, sino algunos para que vean mas o menos como se resuelven si es que tienen mucha duda en como hacerlos...
Si hay alguno en particular que no les sale, consulten en el foro que somos varios que vamos a intentar responder con la mejor onda =)
Ejercicio 5
Primero define una funcion armonica de esta forma:
$$\textrm{Sean f, g dos funciones } {C}^{2} \textrm{ tales que } {f}_{x} = -{g}_{y} \textrm{ y } {g}_{x} = {f}_{y}$$
Entonces tenemos esas dos funciones que no sabemos que son, y lo unico que nos dan es la relacion q existe entre sus derivadas parciales de primer orden, y que son \({C}^{2}\) por lo tanto tambien existen sus derivadas parciales de orden 2.
Primero pruebo que F es armonica:
Necesito \({f}_{xx}\) y \({f}_{yy}\)
Por otro lado tengo \({f}_{x} = -{g}_{y}\)
Si lo derivo respecto a X obtengo:
$${f}_{xx} = -{g}_{yx}$$
Y como tengo \({f}_{y} = {g}_{x}\) derivo respecto a Y :
$${f}_{yy} = {g}_{xy}$$
(quedaria mas formal con la otra notacion, pero no voy a ponerme a hacer eso en TeX..)
Listo, supongo que no tendran problemas para probar exactamente lo mismo para la funcion g.
Ejercicio 8
\(\textrm{Calcular la formula de Taylor de Segundo Orden para las funciones dadas en el punto indicado.}\)\(\textrm{Escribir la forma de Lagrange del residuo.}\)
\(a) f(x,y) ={(x + y)}^{2}\) en (0,0)
Ok, empecemos con Taylor. Calcular la formula de Taylor de 2do orden, implica que la funcion tiene que se de clase C² y si encima quiero dejar expresado el resto, tiene que ser de C³. Esta funcion, evidentemente, lo es. Escribo todas las parciales que voy a usar:
Con c, un valor intermedio entre el punto evulado y la diferencia, en este ejemplo, entre (0,0) y (h,k)
Este ejercicio seguiria con mas cuentas si no fuera porq todas las parciales de segundo orden de la funcion son 0, entonces todo el resto es 0 (Gracias a Dios)
Ahora, en los ejercicios que le siguen a este, no se van a zafar de hacer las cuentas...
En realidad, hay un patrón en los términos del polinomio de Taylor... no necesitan saberse la fórmula de memoria, pero les comento que si miran bien, tienen el desarrollo del binomio de Newton de grado n si se hallan en el paso de la derivada de orden-n, para dos variables. Y para m variables, el desarrollo del multinomio m elevado a la n. Para que se convenzan...
Si observan los números 1, 2, 1... se parecen al cuadrado de un binomio. Si ven para el orden 3, aparecen los números 1, 3, 3, 1... como el desarrollo de binomio grado 3. Esto tiene una explicación inmediata(pero no formal). Como la función es de clase \({C}^{n}\), las derivadas cruzadas son iguales, y estas tienen la misma cantidad de letras ''x'' e ''y''. Luego, lo que hacen es contar las posibles permutaciones de las palabras xyyxx... como tienen n letras(grado n), lo que hacen es elegir ''i'' de tales que sean ''x'', y las restantes, ''y''. Luego, tal cantidad de permutaciones es el coeficiente del término
\({x}^{i}\cdot\;{y}^{n-i}\).
En definitiva... pueden ver que se parece al desarrollo del binomio de orden n. Esto dista de ser una demostración... lo correcto es usar inducción en n, usando como idea la demostración de la expresión del polinomio de Taylor de orden 2, que vimos en la teórica.
Espero que les ayude el comentario.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Si habia notado el patron, y lo iba a comentar, pero me parecio que por ahi confundia mas las cosas porq no tiendo a explicar bien.. gracias por ahcerlo vos =)
Habria que aclarar que para el ejercicio 8,en Taylor, en la parte que usás derivadas parciales mixtas la multiplicas por 2 porq son iguales....SIEMPRE Y CUANDO las parciales sean continuas...sino hay q calcularlas cada una por su lado y dps reemplazar por el punto en cuestion
ESTO PASA SIEMPRE PARA ESTE EJERCICIO (si on todas funciones continuas,y sus parciales tmb),pero esta bueno aclararlo,por si alguien vio un 2 ahi y dijo wtf?
No es necesario aclararlo, pues al aclarar que la función es de clase \({C}^{2}\)(habría que aclarar que lo es en todo su dominio, o en el punto a analizar), es un corolario la igualdad de las derivadas cruzadas.