hasta aca llegue...no se si esta bien planteado y no se si esta bien escrito!!( en tex) pero mi pregunta era si una vez q esta esto planteado solo keda integral como el resto de los ejercicios y listo...y si es asi..¡¡¡¡.¿¿¿como se integra esto (estoy muy al horno)??!!!! por q la verdad q no me salio 🙁
La sustitución está bien. Ahora, esa integral que te quedó, fijate que la podés resolver por separado, por Fubini:
\(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\frac{{\rho}^{2}\cdot \sin(\phi)}{\sqrt{2+{\rho}^{2}}}\,d\rho \, d\phi \,d\theta\eq=2\pi\int_{0}^{\pi}\sin(\phi)\,d\phi\cdot \int_{0}^{1}\frac{{\rho}^{2}}{\sqrt{2+{\rho}^{2}}}\,d\rho\)
Bueno, la integral \(\int_{0}^{\pi}\sin(\phi)\,d\phi\eq=2\), como ya debés estar acostumbrada, o simplemente sacás la primitva y ya. Vamos a la otra, que trae más problemas
\(\int \frac{{\rho}^{2}}{\sqrt{2+{\rho}^{2}}}\,d\rho\eq=\sqrt{2}\int \frac{{\rho}^{2}}{\sqrt{1+{(\frac{\rho}{\sqrt{2}})}^{2}}}\,d\rho\)(saqué en el denominador factor común \(2\), y agrupé \(\frac{{\rho}^{2}}{2}\eq={(\frac{\rho}{\sqrt{2}})}^{2}\))
Bueno... ahora, viene una sustitución muy particular, que en el apunte está(una lástima la no existencia informática...), es considerar las hiperbólicas:
$$\sinh(t)\eq=\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$$
$$\cosh(t)\eq=\frac{{e}^{t}+{e}^{-t}}{2}$$
Es fácil verificar que estas funciones verifican que \({\cosh}^{2}(t)-{\sinh}^{2}(t)\eq=1\), y además, derivar una te la otra, o sea, \([\cosh(t)]'\eq=\sinh(t),\;[\sinh(t)]'\eq=\cosh(t)\). Con esto, hacés la sustitución:
\(\frac{\rho}{\sqrt{2}}\eq=\sinh(t)\), además, despejando, \({\rho}^{2}\eq=2{\sinh}^{2}(t)\)
\(\frac{d\rho}{\sqrt{2}}\eq=\cosh(t)\,dt\). Reemplazando, te queda(ya con el cambio hecho🙂
Ahora, como \({\cosh}^{2}(t)-{\sinh}^{2}(t)\eq=1\implies {\cosh}^{2}(t)\eq=1+{\sinh}^{2}(t)\), termina quedando... tomando raíz cuadrada, y viendo que es positivo el coseno hiperbólico para todo t(estoy siendo desprolijo, perdón pero fijate que esto es inmediato, pues estás sumando dos exponenciales, que siempre dan números positivos en los reales), \(\cosh(t)\eq=\sqrt{1+{\sinh}^{2}(t)}\). Reemplazando...
También vale la propiedad \(\sinh(2t)\eq=\sinh(t)\cdot \cosh(t)\)
Luego te queda:
$$\sinh(t)\cosh(t)-2t$$
Ahora falta recordar quién era \(t\)... tenés \(\frac{\rho}{\sqrt{2}}\eq=\sinh(t)\), luego, despejás(la inversa del seno hiperbólico es el \(argsinh\):
\(t\eq=argsinh(\frac{\rho}{\sqrt{2}})\), y te va a quedar, ahora:
Veamos antes algo...
$$\cosh(t)\eq=?$$
Sabés, por la sustitución, que \(\frac{\rho}{\sqrt{2}}\eq=\sinh(t)\). Elevás al cuadrado, para obtener \(\frac{{\rho}^{2}}{2}\eq={\sinh}^{2}(t)\eq={\cosh}^{2}(t)-1\). Despejás, quedando \(\frac{{\rho}^{2}}{2}+1\eq={\cosh}^{2}(t)\implies \sqrt{\frac{{\rho}^{2}}{2}+1}\eq=\cosh(t)\)
Con todo esto, reemplazás todo, para obtener:
Y ahora solo te falta la cuenta en el intervalo pedido...
Perdón; traté de ser lo más claro posible. Espero que se haya entendido. Saludos
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Gracias marcelo otra vez!!! Nunca se me hubiera ocurrido algo asi!!! ...
ahora solo me quede probar si me sale con tus super resueltos...Gracias again!!
Chicos, chicos... corríjanme si me equivoco, pero eso no sale haciendo partes, tomando \(du = \frac{\rho}{\sqrt{2 + \rho^2}}\) y \(v = \rho\)? Digo... las funciones hiperbólicas no tienen lugar en análisis II, en general...
Y para resolver la integral \(\int \sqrt{2+{\rho}^{2}}\,d\rho\)... necesitás hiperbólicas(en realidad, se pueden evitar, de manera adecuada, pero no tiene tanto sentido). O sea, necesitás hiperbólicas... y te sale en un paso. Va, hoy me equivoqué bastante en cuentas, así que no se si hice partes acá bien... pero no creo estar tan equivocado. En fin, me parece bueno lo de las hiperbólicas, e inevitalbe. Saludos.