Practica 7. Ejercicio 29

29)Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h.

Supongo que debo usar integrales de superficies, pero creo que justo falte a la clase, si me pueden dar una mano se los agradeceria!

Si te piden volumen es porque tenes que hacer integrales triples... (en general)

Integras en el circulo de radio r la funcion de altura, que en el caso del cono debe ser algo como:
Cono = { \((x,y,z): x^2 + y^2 \leq r-z\) }
Es solo una idea pero espero que te sirva
Moraleja: Calcula \(\int_{x^2+y^2\leq r}(r-z) dxdy\)

alguno podria hacerlo completamente, sigo sin entender porque el integrando es r - z

saludos

Gente, copense en responder porque yo tengo la misma duda!!! gracias

se puede calcular con integrales triples o podes usar el principio de cavalieri para calcular el volumen generico del cono de altura h y radio r. Tomando el cono podemos cortar con z = cte y calcular el área en cada una desde 0 hasta la altura e integrarlo, lo que sería como \(vol = \int_0^h A(z) dz\) donde \(A(z)\) es el área en cada uno de los círculos que se forman al cortar al cono con un \(z_0\). Si en la ecuación del cono tomamos \(x = 0\) vamos a ver que el radio está dado por la función \(A(z) = \frac{r}{h} z\). Tambien sabemos que el área del círculo es \(A = \pi r^2\) y reemplazando con lo anterior: \(A(z) = \pi \frac{r^2}{h^2} z^2\)

Entonces integramos \(\int_0^h \pi \frac{r^2}{h^2} z^2 dz\)
que es lo mismo \(\pi \frac{r^2}{h^2} \int_0^h z^2 dz = \pi \frac{r^2}{h^2} \frac{h^3}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3}\) que es el volumen del cono