Un ejercicio curioso... bastante inocente(y canónico; incluso parte del mismo se halla en la práctica 8, y la otra parte en un libro de análisis. Mi aporte es este post, prácticamente). Mi creatividad últimamente está muriendo. Espero que levante
1)\(\int_{0}^{+\infty}{t}^{s-1}{e}^{-t}\,dt\) converge si \(s\geq 0\) y diverge si \(s<0\). De esta manera, podemos definir \(\Gamma:0\rightarrow \mathbb{R}^{+}\). Esta función se conoce como función Gamma
2)Probar que \(\Gamma(n+1)\eq=n!\). Así, la función Gamma permite extender al factorial a los números reales positivos.
3)Probar que \(\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-{x}^{2}}\,dx\) converge
4)Probar que \({I}^{2}\eq=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-({x}^{2}+{y}^{2})}\,dx\,dy\)
5)Usando que \(I\eq=\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-{x}^{2}}\,dx\eq=\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_{-t}^{t}{e}^{-{x}^{2}}\,dx\), y planteando \({I}^{2}\) como límite de integrales en círculos utilizando coordenadas polares, calcular \(I\)
6)Probar, finalmente, que \(\Gamma(\frac{1}{2})\eq=\sqrt{\pi}\)
Para poder resolver adecuadamente este ejercicio, es recomendable(tal vez, necesario, debería decir) haber visto el Teorema de Cambio de Variables, y manejar integrales impropias. Espero que ayude el ejercicio, que es a su vez una extensión de uno de la práctica(es que no puedo evitarlo; por alguna razón este ejercicio me agrada). Un poco más desafiante(¿acaso?), es el siguiente, también canónico:
Sea \({S}_{n}(R)\) la esfera \(n\)-dimensional de radio \(R\) dada por \({S}_{n}(R)\eq=\{X\in\mathbb{R}^{n}:||X||\leq R\}\). Definimos el volumen de la \(n\)-esfera por la integral \({V}_{n}(R)\eq=\int \cdots\int_{{S}_{n}(R)}\,1\,d{x}_{1}\cdots \,d{x}_{n}\).
Probar que para \(n\geq3\), vale que \({V}_{n}(R)\eq=\frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}n+1)}\cdot {R}^{n}\), donde \(\Gamma\) es la función Gamma.
Sugerencia: el teorema de cambio de variables vale para integrales múltiples, en general. Primero, bajo un cambio adecuado de variables, probar que \({V}_{n}(R)\eq={R}^{n}{V}_{n}(1)\). Luego, probar que \({V}_{n}(1)\eq=\frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}n+1)}\), esciribiendo la integral que da a \({V}_{n}(1)\) como la iteración de una integral \((n-2)\)-múltiple, y una integral doble, trabajando adecuadamente con la región \({S}_{n}(1)\). Luego, después de un poco de trabajo, usar coordenadas polares, y recordar que \(\Gamma(s+1)\eq=s\Gamma(s)\), y que dada una sucesión de números reales definida por recurrencia, existe una única función que la satisface.
No es tan difícil como parece; seguro que sin leer la sugencia sale más fácil. Nuevamente, es recomendable tratar de encarar este ejercicio después de T. de cambio de Variables. Ahora si, saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities