Practica 3 Ej 23

A ver este otro...

Estudiar la existencia del plano tangente al grafico de las siguientes funciones en los puntos indicados. Si existe, escribir la ecuacion.

\(F(x,y)=x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}\) en (16,1)

Fijate que es producto y composición de funciones que son todas diferenciables! (\(x^{1/4}\) es tomar raíz cuadrada dos veces, y tomar raíz cuadrada es diferenciables en 16, y otra vez en 4 😛), eso implica que el plano tgte en ese punto existe. Ahora solo es cuestión de calcular las derivadas parciales y etc, pero lo podés hacer con la formulita usual de que la derivada es bajar el exponente mulitplicando y elevando a la exponente -1, etc.

Gracias, no lo que no me salia era justamente probar que era diferenciable pero si lo puedo decir directamente esta bien.

Saludos!

Yossarian escribió:

Fijate que es producto y composición de funciones que son todas diferenciables! (\(x^{1/4}\) es tomar raíz cuadrada dos veces, y tomar raíz cuadrada es diferenciables en 16, y otra vez en 4 😛), eso implica que el plano tgte en ese punto existe. Ahora solo es cuestión de calcular las derivadas parciales y etc, pero lo podés hacer con la formulita usual de que la derivada es bajar el exponente mulitplicando y elevando a la exponente -1, etc.

No me quedó claro por qué sabés que es diferenciable... mejor dicho, no me quedó claro **dónde NO sería diferenciable **una función de esa pinta...
Esa función no sería diferenciable en valores negativos de X o Y, porque la funcion x^1/4 no está definida en esos puntos... estoy en lo correcto? o estar pensando a las 4 de la mañana me hace delirar? 😛 jajajaj

Pasa que las funciones que tiene valores fraccionarios en el exponente, suelen tener problemas de diferenciabilidad en el origen, o puntos donde la función se anula, o al menos, se anula la parte donde está dicho exponente. Fijate, por ejemplo, \(\sqrt{x}\), cuya derivada es \(\frac{1}{\sqrt{x}}\). En \(\mathbb{R}^{2}\), cuando tenés \({x}^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}\), tenés como duda qué pasa en el origen \((0,0)\), por ejemplo. Sabés que \({x}^{\frac{1}{2}}\)(por la derivada de arriba) que es diferenciable en todos los valores distintos que tengan \(x\eq=0\). Luego, por producto de funciones diferenciables, sabés que es diferenciable en valores donde \(x\neq0,\;y\neq0\). ¿y en el \((0,0)\)? recurrís a la definición(no podés aplicar la derivada de arriba y decir que no existe; tenés qe calcular las derivadas parciales con el límite).
Con respecto a los negativos, no tiene sentido hablar de diferenciabilidad en tales valores porque estás trabajando sobre \(\mathbb{R}^{2}\), y la raíz cuadrada sobre \(\mathbb{R}\) está bien definida para la semirrecta \([0,+\infty)\).
Espero haberte aclarado... y no confudido más...