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Tema

Practica 3 Ej 22

11 respuestas 14316 visitas
#1 Carla

Hola, a ver si me pueden dar una mano con este ejercicio...

Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de las siguientes funciones en el origen:

$$f(x,y)=\begin{Bmatrix} \frac{x}{y}\sin\frac{1}{y} & \mbox{ si }& y\neq{0} \\ 0 & \mbox{si}& y=0\end{matrix}$$

Saludos!

#2 santiago-kun

Carla escribió:

Hola, a ver si me pueden dar una mano con este ejercicio...

Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de las siguientes funciones en el origen:

$$f(x,y)=\begin{Bmatrix} \frac{x}{y}\sin\frac{1}{y} & \mbox{ si }& y\neq{0} \\ 0 & \mbox{si}& y=0\end{matrix}$$

Saludos!

A ver si te puedo ayudar (corríjanme por favor)

Antes que nada tenés que saber que \(f(0,0) = 0\) por la segunda parte de la definición de nuestra función partida (te dice que por cualquier lado que te acerques mientras \(y=0\), \(f(x,0) = 0\), en particular \(f(0,0) = 0\))

Continuidad:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{y}\sin(\frac{1}{y})$$

Si \(f\) es continua en el origen entonces este límite te *tiene que tender *a \(0\), ya que \(f(0,0)=0\)

Nos acercamos por la curva: \(\sigma(t)=(t,t)\)

$$\lim_{t \to 0} \frac{t}{t^2}\sin(\frac{1}{t})$$

Este límite no es cero, de hecho no existe (es oscilante entre +\(\infty\) y -\(\infty\))

Entonces \(f\) no es continua en el \((0,0)\)

Derivadas parciales

en x:

$$\frac{\delta f(0,0)}{\delta x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0$$
(porque \(f(h,0)\) **ES** cero y \(f(0,0)\) **ES** cero, entonces le "gana" a \(h\) que es algo que *tiende a* \(0\).)

en y:

$$\frac{\delta f(0,0)}{\delta y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h}\sin(\frac{1}{h})}{h} = 0$$
(de nuevo, algo que **ES** \(0\) por otra cosa que *tiende a* algo, da \(0\))

Diferenciabilidad

\(f(0,0)\) no es continua entonces \(f(0,0)\) no es diferenciable.

Editado 1 vez.

#3 Yossarian

Todo bien, un detalle nada más: te acercás por la curva \(\sigma (t) = (t,t)\), no por la curva \(\sigma (t,t)\)... ¿se entiende?

Saludos.

#4 santiago-kun

toda la razón, ahí lo corregí.

#5 Carla

Gracias por la respuesta, me pasaba lo mismo que en el otro post, tengo que tener mas cuidado con eso.

Saludos!

#6 hookdump

Che santiago, sos un cara de caca, explicás muy bien todo 😄
Y después me negás que la tenés re clara 😄 jajajaj

Despues veo si te ayudo con la P4 🙂 :O

Pregunta pequeñísima:

$$\lim_{h \to 0}\frac{\frac{0}{h}\sin(\frac{1}{h})}{h}$$
y vos comentaste "(de nuevo, algo que ES 0 por otra cosa que tiende a algo, da 0)" ¿Estoy habilitado para decir que el numerador ES cero, porque es cero por algo acotado, verdad? Y bueno, luego sí, el numerador es cero, y divide a algo que tiende a algo, asique da cero, eso lo entiendo.

Saludos!!

Firma
$$\displaystyle\lim_{dom \to lun} = paja$$

http://hookdump.com

#7 Quimey

No te importa que el algo sea acotado
por ejemplo cuanto vale \(\lim_{n \rightarrow \infty}0 . n^{n^n}\)? Da 0 porque es constantemente 0. Es lo mismo preguntar eso que preguntar \(\lim_{n \rightarrow \infty}0\)

Firma

Quimey

#8 hookdump

Tenés razón, soy un boludo!!!..
Y entonces dónde escuché eso de "cero por acotado"? en algun lugar se usa eso, no? 😛

#9 Quimey

Si vos tenes 2 sucesiones \(a_n,b_n\) de manera que la primera tiende a 0 y la segunda esta acotada entonces el producto tiende a 0

#10 Carla

hookdump una cosa es que algo sea cero y otra es que tienda a cero.
Eso que vos decis de cero por acotada es cuando vos tenes algo que tiende a cero por algo acotado entonces ese limite es cero, y otra cosa es cuando tenes explicitamente un cero que por cualquier cosa es cero.
No se si me explico...
Saludos!

#11 hookdump

Carla escribió:

hookdump una cosa es que algo sea cero y otra es que tienda a cero.
Eso que vos decis de cero por acotada es cuando vos tenes algo que tiende a cero por algo acotado entonces ese limite es cero, y otra cosa es cuando tenes explicitamente un cero que por cualquier cosa es cero.
No se si me explico...
Saludos!

Sisi, te explicás perfectamente. Eso lo sé!!! Ahora que lo veo, no sé por qué pregunté la estupidez que pregunté! 🙂 jajajaj

Saludos! y gracias por la explicación de todos modos.

#12 ValeriaR

Hola!
Primero que nada quería agradecer a todos los que responden, porq varios post de por acá me han ayudado un montón con varios ejercicios 😄 !!

Pero posteo porque quería avisar que este ejercicio en la guía actual (2010) aparece como el ejercicio 9) e)... me pareció oportuno avisar por si les parece cambiarle el nombre al topic, así los que estamos haciendo las guías ahora los podemos consultar...

Saludos!!