Alguien puede ayudarme con este limite?
Probar que la siguiente función no tiene límite cuando \((x,y)\rightarrow(0,0)\).
$$f(x,y)=\frac{sen(xy)}{|x-y|}$$
No sé cuál curva tomar para ver que no existe el límite
Tema
[No Resuelto]Práctica 2 ejercicio 18
Fijá \(x=0\) y acercate por \(y\) al cero por ejemplo. Te queda un \(\frac{0}{algo}\) que es \(0\) . Con esto, por la unicidad del límite, de existir, debe ser \(0\) .
Pero por ejemplo, mirá que si fijás \(y=x-x^2\) , y haces tender \(x\) a cero, entonces \(y\) se va a cero . Por lo que podemos estudiar que pasa si nos restringimos a esa curva:
te queda:
$$\lim_{x\rightarrow 0} f(x,x-x^2) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen (x\cdot (x-x^2))}{|x-(x-x^2)|} \; = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen (x^2\cdot (1-x))}{x^2} =$$
\(= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen (x^2\cdot (1-x))}{x^2 \cdot (1-x)}\cdot (1-x) = \lim_{x\rightarrow 0} (1-x) = 1\) . Por unicidad no existe el límite.
Usé en un momento que \(\lim_{t\rightarrow 0} \; \frac{sen (t)}{t} = 1\), recordando un límite lindo \(=)\) .
Espero haberte ayudado, saludo.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
bueniiiiiiiisimo, cómo se te ocurrió? :O
Hola!
No se como lo habrá pensado, pero dejo otra curva que sirve (al menos eso creo) y cómo se me ocurrió:
Como dijo Agustín, conocemos un límite "lindo" que es:
Agustin escribió:
\(\lim_{t\rightarrow 0} \; \frac{sen (t)}{t} = 1\) .
De ahí si logro en el ejericicio que lo que esté adentro del seno y en el denominador sea lo mismo (y tienda a 0), me queda un límite que conozco que tiende a 1
Entonces planteo
$$xy=|x-y|$$
Tomo en particular el caso que \(|x-y|>0\)
$$x-y=xy$$
$$y=x-xy$$
$$y=x.(y-1)$$
$$x=\frac{y}{1-y}$$
Luego si tomo la curva \((\frac{y}{1-y};y)\) (que pasa por el \((0;0)\), que era el punto a analizar, me queda que el límite tiende a 1 🙂
\(\frac{sen (\frac{y}{1-y}. y)}{|(\frac{y}{1-y})-{y}|} = 1\)(haciendo las cuentas 😛)
Si hay algo mal avisen!
Saludos!