Necesito alguna ayuda para poder demostrar lo que me piden porque no encuentro la forma.
Gracias.
Tema
[NO RESUELTO] PRACTICA 2) EJ 28. a) y b)
Yo te ayudare!!!!!!!
...
¿Cómo te ayudo?
Por favor, acostúmbrense a poner el enunciado de los ejercicios. Ahora lo pongo, con la resolución, porque lo tengo a mano, pero... bueno, ahi va:
Definimos \(F:\mathbb{R}^{9}\rightarrow \mathbb{R}\) como
$$F({x}{1},...,{x}{9})\eq=\det(\begin{pmatrix}{x}{1} & {x}{2} & {x}{3}\ {x}{4} & {x}{5} & {x}{6} \ {x}{7} & {x}{8} & {x}{9} \end{pmatrix})$$
(a)Sea \(a\in\mathbb{R}^{9}\). Mostrar que si \(F(a)\neq 0\), entonces hay un entorno \(U\) de \(a\) tal que si \(x\in U\implies F(x)\neq 0\)
(b)Concluir que si \(a\in \mathbb{R}^{9}\) es tal que la matriz
$$\begin{pmatrix}{a}{1} & {a}{2} & {a}{3}\ {a}{4} & {a}{5} & {a}{6} \ {a}{7} & {a}{8} & {a}{9}\end{pmatrix}$$
es inversible, entonces existe un entorno \(U\) de \(a\) tal que si \(x\in U\), la matriz $$\begin{pmatrix}{x}{1} & {x}{2} & {x}{3}\ {x}{4} & {x}{5} & {x}{6} \ {x}{7} & {x}{8} & {x}{9}\end{pmatrix}$$
también lo es.(a) Notá que la función determinante define un polinomio. No nos importa mucho quién es el polinomio, pero nos importa que sea un polinomio. Si querés calcularlo, solo calculá el determinante general de una matriz \(\mathbb{R}^{3\times 3}\). Ahora, sabés que los polinomios son funciones continuas, en este caso, como\(F:\mathbb{R}^{9}\rightarrow \mathbb{R}\), resulta continua \(F\), por ser un polinomio, en \(\mathbb{R}^{9}\). Además, sabés que una función continua satisface que si en un punto no se anula, existe una bola centrada en ese punto tal que no se anula la función. O sea, si \(F(a)\neq 0,\;F\) es continua en \(a\), resulta que existe \(B\eq={B}_{\delta}(a):x\in B\implies F(x)\neq 0\). Como \(F\) es un polinomio y es continua(por ser un polinomio) en todo \(\mathbb{R}^{9}\), si \(a\in \mathbb{R}^{9}\), tenés que es continua sobre \(a\). Si además \(F(a)\neq 0\), tenés que existe una bola como dijimos antes. Luego, el entorno \(U\) de \(a\) que podés tomar es \(U\eq={B}_{\delta}(a)\), la bola que anteriormente dijimos.
(b)Ahora recordá que una matriz cuadrada es inversible si y sólo si su determinante es no nulo. Luego, estamos diciendo que si \(a\in \mathbb{R}^{9}\) es tal que
$$\begin{pmatrix}{a}{1} & {a}{2} & {a}{3}\ {a}{4} & {a}{5} & {a}{6} \ {a}{7} & {a}{8} & {a}{9}\end{pmatrix}$$
es inversible equivale a decir que $$F(a)\eq=\det(\begin{pmatrix}{a}{1} & {a}{2} & {a}{3}\ {a}{4} & {a}{5} & {a}{6} \ {a}{7} & {a}{8} & {a}_{9}\end{pmatrix})\neq 0$$
. Luego, dijimos en (a) que había un entorno \(U\) de \(a\) donde \(F(x)\neq0,\;\forall x\in U\). Luego, en ese entorno, las matrices son inversibles, por ser su determinante, \(F(x)\), no nulo.Espero haberte aclarado. Por favor, si se puede, tratá de poner el enunciado, para que sea más fácil ayudar. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities