[No Resuelto]Practica 2 ejercicio 10. d)

me ayudan a demostrar esto por definicion?:
Probar que \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,3)}\frac{y^2+cos(\pi-x)}{y}=\frac{8}{3}\)

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Ajá!!! Este es un clásico. Recuerdo haberlo resuelto varias veces... Acá va.

Primero, notar una cosa. Si bien no es lo que nos piden, nadie nos prohibe que reemplazemos las cosas y veamos cómo da. Si reemplazamos x= 0 e y = 3, tenemos \(\frac{3^2+\cos(\pi)}{3} = \frac{9}{3} + \frac{-1}{3} = \frac{8}{3}\). Fijense que eso da una idea de lo que habría que hacer: habría que usar desigualdad triangular, y en lugar de demostrar que cada cosa se acerca a 8/3, demostrar que el primer sumando se acerca a 9/3 = 3, y que el otro se acerca a -1/3. Es decir, algo así:

\(\left|\frac{y^2+\cos(\pi-x)}{y} - \frac{8}{3}\right| = \left|\frac{y^2}{y} - \frac{9}{3}+ \frac{\cos(\pi-x)}{y} - \frac{-1}{3} \right| \leq \left|\frac{y^2}{y} - \frac{9}{3} \right| + \left| \frac{\cos(\pi-x)}{y} - \frac{-1}{3}\right| = |y-3| + \left| \frac{3\cos(\pi-x) + y}{3y}\right|\). Ahora, pidiendo \(||(x,y) - (0,3)|| < \delta\) (después vemos quién nos conviene que sea \(\delta\)), tenemos que la primera parte es menor que \(\delta\). Queda entonces por acotar la parte de \(\left| \frac{3\cos(\pi-x) + y}{3y}\right|\).

Veamos entonces eso. Empecemos por el numerador. Fíjense que tenemos una suma de cosas, que debería hacerse chiquita. Nosotros sabemos entonces que y se está yendo a 3 y que x se va a 0. Cuando pasa eso, tenemos que \(3\cos(\pi-x)\) se va a -3, y que \(y\) se va a 3 (así que es muy lógico que cuando las sume, se parezcan a 0). Entonces, como yo sé que y se va a 3, resto 3, y como no lo puedo hacer así nomás, lo vuelvo a sumar:

\(\left| 3\cos(\pi-x) + y \right| = \left| (3\cos(\pi-x) +3) + (y -3) \right| \leq \left| (3\cos(\pi-x) +3)\right| + \left|(y -3) \right|\).

Ahora fíjense que apareció un \(|y-3|\) (precisamente para que aparezca eso sumé y resté 3), que es menor que \(\delta\). Ahora, \(\left| (3\cos(\pi-x) +3)\right| = 3\left| \cos (\pi -x) - (-1)\right|\).

En estos casos uno tiene muchas formas de continuar. Mi favorita es recordar el teorema de lagrange del valor medio, que dice lo siguiente: Si \(f: \mathbb R \to \mathbb R\) es una función diferenciable, entonces tenemos que \(|f(x) - f(y)| = f'(c)|x-y|\), donde \(c\) es algún punto intermedio entre x e y. Como la función coseno es recontra derivable, y tenemos que \(\left| \cos (\pi -x) - (-1)\right| = \left| \cos (\pi -x) - \cos(\pi - 0)\right|\) \(= |\sin(\pi - c)||\pi - x- \pi + 0)| = |\sin(c')| |x| \leq |x| < \delta\) (esto último porque el seno toma valores entre -1 y 1).

Tenemos entonces, uniendo todo, que \(\frac{\left| 3\cos(\pi-x) + y \right|}{3y} < \frac{2 \delta}{2y} = \frac{\delta}{y}\). Todavía hace falta deshacerse del y. Como el y está dividiendo, necesitamos tener una cota del estilo \(y > C\), para poder poner \(1/y < 1/C\). Ahora, fíjense que y está próximo a 3. Como está cerca de tres, en particular debería ser más grande que 1. Para justificar eso, decimos que, como \(|y-3| < \delta\), esto implica en particular que \(y > 3 - \delta\). Si \(\delta < 2\) (recordar que nos interesan valores pequeños de \(\delta\)), entonces claramente \(y> 1\), y por lo tanto \(1/y < 1\). Así, \(\frac{\delta}{y}< \delta\)!!

Rebobinando, llegamos a que si \(\delta < 2\), entonces \([tex]\left|\frac{y^2+\cos(\pi-x)}{y} - \frac{8}{3}\right| \leq \mbox{cosas} \leq 2 \delta\). Si queremos que todo eso sea menor que \(\epsilon\), nos basta elegir \(\delta < \frac{\epsilon}{2}\). Notar entonces que tenemos DOS condiciones sobre \(\delta\): que sea menor que \(\frac{\epsilon}{2}\), y que sea menor a 2. Como dado un cierto épsilon, existe un delta que cumpla con esas condiciones (el mínimo entre \(\frac{\epsilon}{2}\) y 1, por ejemplo), siempre que nos de un épsilon blah blah blah...

Espero que se haya entendido... Saludos!!!

Ok joya, no fui yo quien pidió este ejercicio, pero me sirvió asique te agradezco 🙂

Comento una cosita por si alguien ve algo raro al comienzo de la explicación y no entiende como es: cerca de donde aparece un "right" de más, falta un signo +... acá pongo bien como debería empezar la explicación:

(corrijanme si me equivoco! XD)

saludos!, y gracias de nuevo!

Primero que nada, muchas gracias Yossarian por el procedimiento del ejercicio, yo tmb estaba re atascado mal XD..

No se si es un error o soy yo, pero no entiendo el paso este: \(\frac{\left| 3\cos(\pi-x) + y \right|}{3y} < \frac{2 \delta}{2y} = \frac{\delta}{y}\)

yo lo intente hacer y me da algo diferente:

Como teniamos que \(\left|%20\cos%20(\pi%20-x)%20-%20(-1)\right|%20=%20\left|%20\cos%20(\pi%20-x)%20-%20\cos(\pi%20-%200)\right|\) era igual a \(=%20|\sin(\pi%20-%20c)||\pi%20-%20x-%20\pi%20+%200)|%20=%20|\sin(c%27)|%20|x|%20\leq%20|x|%20%3C%20\delta\)..pero originalmente habia un 3 multiplicando a esa ecuacion, por lo tanto, si acotamos esa ecuacion por delta, quedaria \(3 \delta\)..esto, más el \(\delta\) de que antes se habia acotado en el \(\left|(y%20-3)%20\right|\) de \(\left|%203\cos(\pi-x)%20+%20y%20\right|%20=%20\left|%20(3\cos(\pi-x)%20+3)%20+%20(y%20-3)%20\right|%20\leq%20\left|%20(3\cos(\pi-x)%20+3)\right|%20+%20\left|(y%20-3)%20\right|\), estaria dando \(\frac{4 \delta}{3y}\)...esta bien? o en que frutee? XD

No leí en detalle lo de Yossarian pero te creo, igual eso no cambia el desarrollo posterior.

eze tiene razón, frutée un poquito en la cuenta, pero el procedimiento es el mismo.

Mira yo lo hice sin usar lo de Yossarian y me quedo otro \(\delta\)
No se si estara bien.

Primera vez escribiendo en TeX, alla vamos:

\(\vert\frac{{y}^{2}+\cos(\pi-x)}{y} - \frac{8}{3}\vert\leq\varepsilon\)
si \(\Vert(x,y-3)\Vert = N\leq\delta\)

Como \(\vert\cos(\pi-x)\vert \leq 1 \Rightarrow 3\vert\cos(\pi-x)\vert \leq 3\)
Usando esto me queda

choclo \(\leq \vert\frac{3{y}^{2}-8y}{3y}\vert + \vert\frac{3}{3y}\vert\)

Como \({3y}^{2}-8y \leq 3{N}^{2}\) ya que \({3y}^{2}-8y \leq 3{x}^{2}+3{y}^{2} \Rightarrow 0 \leq 3{x}^{2} + 8y\) (V \(\forall (x,y)\))

Entonces, con \(\delta \leq 2 \Rightarrow \vert3x\vert \geq3\) (x Yossarian)

Aplico todo:

Entonces, basta con tomar \(\delta \leq \min(2,\sqrt{\varepsilon})\)

Todo bien o frutee alguna parte?

Hay varias cotas que creo que son falsas (o no entendí de donde las sacaste):

De abajo para arriba: \(\delta^2 +1\leq \delta^2\)

Otra: \({3y}^{2}-8y \leq 3{x}^{2}+3{y}^{2}\)

No veo por qué esto vale...

Mr. Satán escribió:

Hay varias cotas que creo que son falsas (o no entendí de donde las sacaste):

De abajo para arriba: \(\delta^2 +1\leq \delta^2\)

Uhh me agarraste dormido ahi, esa es falsa. Corrigiendo en el post original:

\(\delta^2 +1\leq \varepsilon \rightarrow \delta^2\leq \varepsilon -1 \rightarrow \delta \leq\sqrt{\varepsilon-1}\) y bastaria (?) con tomar \(\delta=\min(2,\sqrt{\varepsilon-1})\)

Otra: \({3y}^{2}-8y \leq 3{x}^{2}+3{y}^{2}\)

Esa la explique ya pero el tema que queda es que estoy tomando modulo de \({3y}^{2}-8y\) (en la ec original) con lo q queda al final:

Sigue estando mal. Por ejemplo que pasa si epsilon es menor que 1?
La cota que vos pones no la creo tampoco. En general no vale, quiza si pedis y>1 si ande. Pero estaría bueno que aclares todo.

El error principal esta en la desigualdad triangular. Despues de ese paso nada de lo que hagas te va a llevar a un buen resultado.

Quimey escribió:

Sigue estando mal. Por ejemplo que pasa si epsilon es menor que 1?
La cota que vos pones no la creo tampoco. En general no vale, quiza si pedis y>1 si ande. Pero estaría bueno que aclares todo.

El error principal esta en la desigualdad triangular. Despues de ese paso nada de lo que hagas te va a llevar a un buen resultado.

Ahhhh!! Si, despues de postear eso me quede pensando en lo de epsilon, en la def de limite pedis solamente epsilon > 0, nada garantiza que sea > 1 (ya que es para todo epsilon positivo) El 1 ese realmente molesta, siempre tuve algunos problemas para acotar y no se muy bien cuando hay que tomar \(\delta = algo\) o cuando \(\delta = \min\lbrace c,\delta(\varepsilon) \rbrace\) asi que despues pense quizas pueda ir \(1 < \delta\) pero como a su vez \(\delta < 2\) son demasiados requisitos.

lo que pasa que epsilon es una distancia, no puede ser negativo...epsilon-1 seguro es negativo para muchos epsilon...

te recomiendo que, no es este el caso, pero si podés usa las propiedades del sandwich y 0 por acotado=0

si debes mostrarlo por definición sí o sí no arriesgues con cotas al azar que no sabes si son válidas....

Otra cosa: pedís delta=mín (algo, algo) cuando pones condiciones al delta...si no queda

\(\delta(\epsilon)\) solamente........bueh al final creo que no agregué nada 😆