Practica 2 EJ 10)f (2012)

Hola, estoy tratando de probar este limite por definicion pero no llego a nada, si alguien me pude dar una mano se lo agradeceria...

\(\lim_{(x,y) \rightarrow \(c,0)}{\frac{sen(x^2y)}{x^2-y^2}}=0\) si \(c\neq0\)

Saludos!

Multiplicas y dividis por \(x^2y\) y separas en dos. La parte del seno te da 1 y te faltaria ver la otra.

Firma

Quimey

Creo que esto es lo que decias, usando que \(senx\leq|x|\)

pero no encuentro como acotar el denominador

Para acotar el denominador:

Sabemos que \(x\) tiende a \(c\), entonces a partir de algún momento

Abriendo el módulo queda Separando en casos (\(c>0\) y \(c<0\)) llegás a que \(|x|>\frac{|c|}{2}\) (para cualquier \(c\)) y luego \(|x|^2>{\frac{|c|}{4}}^2\) De acá también sale que si \(|x-c|<\frac{|c|}{2}\) entonces \(|x|<\frac{3|c|}{2}\) (y luego \(|x|^2<\frac{9|c|^2}{4}\))

Para la parte de \(y\): Como \(y\) tiende a \(0\), a partir de algún momento \(|y|<\frac{|c|}{4}\), luego \(|y|^2<{\frac{|c|}{16}}^2\) y luego \(-|y|^2> - {\frac{|c|}{16}}^2\)

Ahora bien, \(|x^2-y^2| \geq |x^2|-|y^2|=|x|^2-|y|^2 \geq {\frac{|c|}{4}}^2 - {\frac{|c|}{16}}^2\).
Esto último es una constante que la voy a llamar "\(a\)" (lo importante es que \(a > 0\))

Luego \(|\frac {x^2y}{x^2-y^2}| \leq\) \(\frac {|x|^2|y|}{a} \leq\) \(\frac{9|c|^2}{4}\cdot\frac{||(x,y)|| }{a} <\)\(\frac{9|c|^2}{4a} \delta < \varepsilon\)
si \(\delta <min \{ \frac{|c|}{4}, \frac{4a\varepsilon}{9|c|^2} \}\)

Igualmente el ejercicio de la práctica no pide probar el límite por definición. Como no tenés ninguna indeterminación podés decir directamente que el numerador tiende a \(0\), el denominador tiende a \(c^2\) (que es distinto de \(0\)) y luego la función tiende a \(0\).

Firma

$$\bigstar Sofi \bigstar$$

Genial, no me habia dado cuenta que el ejercicio no pedia demostrar por definicion! Gracias..