[Resuelto] P:6 - Ej. 14

Hola, quisiera saber còmo justificar el ejercicio 14 de la pràctica 6 de analisis 1, que ademàs està en algùn parcial, y trata de los puntos del cono màs cercanos al origen de coordenadas. Gracias, saludos

Editado 1 vez.

La idea es la siguiente; el cono del ejercicio tiene ecuación \({z}^{2}\eq={(y-2)}^{2}+{(x-1)}^{2}\). Luego, notá que estás estudiando la función \(f(x,y,z)\eq=||X||\) sobre el cono. Puesto que \({z}^{2}\eq={(y-2)}^{2}+{(x-1)}^{2}\geq {(x-1)}^{2}\), puedo hacer crecer tanto x como quiera y va a existir un punto tal que \((x,y,z)\in S\), S la superficie de nivel definida por el cono. Puesto que x, y, z toman valores tan grandes como se quiera(siempre en \(S\)), y como \(||X||\) crece con los valores de X, se concluye que un máximo absoluto no puede alcanzar en ningún momento. Por otro lado, si el cono se corta transverlamente con dos planos tales que los puntos críticos que obtenés siguen quedando contenidos en el nuevo conjunto, lo que tenés ahora es un compacto, y como la ||X|| es continua sobre el nuevo compacto, debe alcanzar los máximos y mínimos. Puesto que la norma crecía tanto como se quería, y la distancia es finita en el centro del cono, los máximos absolutos caerán sobre los bordes del compacto, y el mínimo absoluto será el punto crítico dado. Este es un bosquejo de la idea.
Si querés que sea más preciso, avisame. Saludos.

Muchas gracias exequiel, por la respuesta, y tambièn por la rapidez de la misma, pronto subirè alguna otra duda, de las tantas que aparecen para recuperar el segundo de anàlisis, que pensè lo aprobaba, y no, gracias, y hasta pronto.

exequiel131719 escribió:

La idea es la siguiente; el cono del ejercicio tiene ecuación \({z}^{2}\eq={(y-2)}^{2}+{(x-1)}^{2}\). Luego, notá que estás estudiando la función \(f(x,y,z)\eq=||X||\) sobre el cono. Puesto que \({z}^{2}\eq={(y-2)}^{2}+{(x-1)}^{2}\geq {(x-1)}^{2}\), puedo hacer crecer tanto x como quiera y va a existir un punto tal que \((x,y,z)\in S\), S la superficie de nivel definida por el cono. Puesto que x, y, z toman valores tan grandes como se quiera(siempre en \(S\)), y como \(||X||\) crece con los valores de X, se concluye que un máximo absoluto no puede alcanzar en ningún momento. Por otro lado, si el cono se corta transverlamente con dos planos tales que los puntos críticos que obtenés siguen quedando contenidos en el nuevo conjunto, lo que tenés ahora es un compacto, y como la ||X|| es continua sobre el nuevo compacto, debe alcanzar los máximos y mínimos. Puesto que la norma crecía tanto como se quería, y la distancia es finita en el centro del cono, los máximos absolutos caerán sobre los bordes del compacto, y el mínimo absoluto será el punto crítico dado. Este es un bosquejo de la idea.
Si querés que sea más preciso, avisame. Saludos.

A propòsito de este ejercicio del cono, que finalmente comprendì por què los ptos que encuentro son min. absolutos, querìa preguntar si para estos casos puede usarse el "ORLADO".