Este ejercicio puede ser de parcial, así que lo posteé. El martes cuando lo plantié, no me salió, no se por qué; ahora pongo la respuesta.
$$\textrm{Hallar\;la\;masa\;del\;solido\;acotado\;por\;el\;cilindro}\;{x}^{2}+{y}^{2}\eq=2x,\;{z}^{2}\eq={x}^{2}+{y}^{2}$$
$$\textrm{sabiendo\;que}\;\rho\eq=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$$
Si uno ve la función densidad, puede ver como la misma función pide a gritos que cuando la integremos usemos coordenadas cilíndricas, así queda una ''bonita'' integral que se resuelve en poco tiempo. Tenemos el cono que no nos la piensa hacer tan fácil, y el cilíndro dezplazado. No importa, veamos:
$${x}^{2}+{y}^{2}\eq=2x$$
$${x}^{2}-2x+1+{y}^{2}\eq=1$$
$${(x-1)}^{2}+{y}^{2}\eq=1$$
Ahora tenemos claro donde anda el cilindro, sin embargo, cuando reemplazemos, usaremos la primera ecuación:
$${r}^{2}\eq=2r\cos{\phi}$$
Pidiendo r distinto de cero, que no afecta:
$$r\eq=2\cos{\phi}$$
Del cono extraemos...
$${z}^{2}\eq={r}^{2}$$
Concluímos, como el techo y el piso los pone el cono:
$$-r\leq z\leq r$$
¿Cómo depende el ángulo de barrido \(\phi\)? Si hacen el dibujo, van a poder ver que \(\frac{\pi}{2}\geq \phi \geq0,\;2\pi\geq \phi \geq \frac{3\pi}{2}\)
Finalmente, el radio queda determinado por el cilindro, concluyendo\(0\leq r\leq 2\cos(\phi)\)
Queda la integral agradable:
$$\int_{\mathbb{W}} \rho (x,y,z)\;dV\eq= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos(\phi)} \int_{-r}^{r}{r}^{2} \;dzdrd\phi+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\int_{0}^{2\cos(\phi)} \int_{-r}^{r}{r}^{2} \;dzdrd\phi$$
Las integrales que quedan son sencillas, con los que quedan para resolver.
Espero que esté bien y los ayude. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities