Sea B(x,y,z) la bola de radio 1 centrada en el origen.
Probar que el punto \(v= \left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) es normal al plano tangente en el punto v.
Voy a probar algo más general.
Quiero ver que para todo punto de la esfera (cualquiera sea su radio), la normal al plano tangente es ese mismo punto. Vamos alla:
$$\triangledown B (x,y,z) = (2x,2y,2z) = 2(x,y,z)$$
Como el gradiente es normal a la superficie de nivel y, justamente, B la podemos considerar una superficie de nivel de la función \(B(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) (para nuestro caso, la superficie\(B(x,y,z) = 1\) ), entonces \(2(x,y,z)\) es normal a la superficie de nivel en el punto \((x,y,z)\). Pero \(2(x,y,z)\) tiene la misma dirección que \((x,y,z)\). Por lo que \((x,y,z)\) es normal al plano tangente en el punto \((x,y,z)\) para todo \((x,y,z)\) en la superficie (en particular, cuando vale v), como queríamos probar
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