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Sinceramente no tengo mucha idea de como arrancar con este ejercicio, alguien me puede ayudar paso a paso?, incluso para tener una mejor idea de como aplicar el teorema de la funcion inversa. Paso a enunciar:
Sea f: R -> R la funcion \(f(x)= x^5+x^3+x\) Probar que f es biyectiva y que la inversa es diferenciable. Encontrar la ecuacion de la recta tangente al grafico de la inversa en el punto \((3, f^-1(3))\) ¿Cuanto vale \((f^-1)' (a)\) para cada a perteneciente R?
Desde ya les agradezco! 😉
Veo que escribiste esto hace 2 semanas, pero por las dudas le sirve a alguien contesto.
Mira te cuento, no me acuerdo todas las hipótesis pero la que importa en este caso (que matemáticamente correcta que soy no?) es que el "gradiente" no se anule, en este caso el gradiente es la derivada, \(5x^4+3x^2+1\), que para ver que no se anula tomala como una bicuadrática o simplemente todos los exponentes son pares asique nunca se hace -1 la primera parte.
El teo te dice que alrededor de un punto donde no se anula es biyectiva y existe la inversa (creo, no me acuerdo la teoría exactamente), y como no se anula en ningún punto, alrededor de todos los puntos es biyectiva y existe la inversa.
Como calcular la inversa, no me acuerdo exactamente, pero creo que es el inverso de la derivada de la función original, eso tendrías que fijarte en la teoría.
Espero haber ayudado, saludos