1)por la definicion de diferenciabilidad se tiene que una funcion es diferenciable en un punto dado si el limite, cuando se tiende a ese punto, del modulo de toda una cosa que tiene al gradiente, dividido la norma da exactamente igual a 0 (es la definocion de diferenciablilidad);
ahora cuando calculo ese limite y acoto por la norma obteniendo una relacion entre ebsilon y delta estoy afirmando que ese limite existe pero no que vale 0, entonces como se prueba si la funcion es diferenciable o no?...
2)ahora unas relaciones entre diferenciabil, derivabilidad y continuidad porq se me hace un matete!! hay cosas q se ve no tengo bien en claro
a)una funcion es diferenciable en un punto si es continua y tiene derivadas parciales en ese punto y estas son continuas (eso tb hay q probar.. q sean continuas las deriv?) pero pude que no exitan deriv en otras direcciones (distintas a los canonicos)? ahora no vale la vuelta ?? porq .. si es diferenciable entonces existen deriv parciales (deveria valer)
b) ahora.. si exiten deriv direccionales (distintos a los canonicos) en un punto dado.. necesariamt existen las parcales ( en los canonicos) en ese punto?
c) puede ser continua en el punto pero no derivable (no existir derv parc o direcc) en él, pero si es derivable (exiten deriv parc o direcc) en ese punto necesariamt es cont en él?
no entiendo lo que querés preguntar ahi porque... una cosa es calcular el límite (usando propiedades y otras cositas) y otra es probarlo por definición. Es decir, vos no tenés que encontrar una "relación" entre ePsilon y delta, sino que tenés que encontrar un delta (dependiendo del épsilon dado, que puede ser cualquier real) tal que si el punto P te cae dentro de un entorno del Q que vos estás analizando, entonces f(P) (en módulo) es más chico que epsilon.
a) sí, tenés que ver que sean continuas las derivadas, pues pueden existir y no ser continuas, y eso no te asegura diferenciabilidad.
b) No. CREO que un ejemplo podría ser \(f(x,y)=\frac{x^2}{y}\) con f(x,y)=0 si y=0. tiene derivada direccional salvo para la dirección del eje y.
c) ¿que querés decir con derivable...?
a ver... acá no vale que sea derivable implica que sea continua (por ej: \(f(x,y)=\frac{y^5}{x+y}\) definida como 0 si x+y=0 tiee derivada en todas las direcciones desde el origen, pero no es continua.
Lo que si te asegura la continuidad es la diferenciabilidad de f
espero que te haya quedado claro!! te recomiendo mirar los ejs que te di para terminar de convencerte adios]!
voy a dar un ejemplo para q se entienda aglo mi preg
el ejercicio de la pract 3 ejerc 13-a dice que dada f(x,y,z)=raiz cuadrada de (modulo de (x.y.z)) tengo q ver si es diferenciable en el origen..
me fije y la funcion es continua y tiene deriv parciales entonces es diferenciable pero calculo que tengoo que calcular el limite por definicion ( la definicion de diferenciabliidad es un limite que es igual a cero); bueno resulta que planteo ese limite y obtengo la funcion dividido la norma, entonces voy acotando por la norma para otener una relacion entre epsilon y delta que me asegure que el limite exite, de hecho la obtengo y me queda que epsilon es la raiz cuadrada de delta, pero tb tiene que cumplir que ese limite ademas sea =0!!... o sea.. tengo q hacer este lim y probar es es = 0 o directamt digo q como la func es cont y tiene deriv parc enel punto entonces es diferenciable?
sin embargo en el 13 b me dia q la func es cont y tiene derivadas parc en un punto y la funcion no era diferenciable.. como puede ser??
c) no se entiende.. pero se ve q me entendist
o sea... si es continua en un pto puede tener o no deriv direcc y pariales en ese punto dado, y si tiene derivadas parciales o direccionales esto no implica que sea cont ....
Que f sea continua y con derivadas parciales NO TE ASEGURA que f sea diferenciable. Tieneque ser contiuas sus derivadas. No lo hice,pero enel ejemplo que vos das, sospechofuerte,emte que las derivadas paraciales de la funciòn que das noson continuas, pues en cero parece tener erivada infinita. ¿Entendès? o sea... para decir que sea diferenciable tenès que pedir que f sea continua, que tenga derivadas parciales Y QUE ESTAS SEAN CONTINUAS (eso no lo aseguraste)
Otra.., en cuanto a l lìmite...
ovs tenès que PROBAR que es 0 el lìmite. Estas mezclando las cosas cuando decìs lo de epsiloncon delta y lo de que vale 0.
sii dale por favor!!! y muchas gracias!!.. igual lo q me dijist lo entendi solo q no se como demostr eso... q es o no diferenciable (o sea darme cuenta y demostr)... muchas gracias!!
Sería el ejercicio ... Estudiar diferenciabilidad de \(f(x,y,z)=\sqrt{\vert xyz\vert}\) en el origen.
Bueno...
f es claramente continua en el origen pues \(lim_{X\rightarrow 0}f(X)=0=f(0,0,0)\) Si usamos \(X=(x,y,z)\) Vamos bien (ves? acà la continuidad no implica diferenciabilidad. Obviamente, si no fuese continua ahí sì decis que no es diferenciable, pero no es este caso)
Análogo para las otras derivadas parciales. O sea que \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)=\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)=0\)
Listo, tiene derivadas parciales en el origen (Todavía no se puede asegurar que sea diferenciableee!!!, habría que analñizar si la FUNCIÓN derivada parcial es continua, pero no te conviene calcular toda la función derivada parcial, en cambio vamos a hacer lo del límite ese que vcos decías)
veamos que f es diferenciable en el origen, para ello DEBE VALER QUE:
O sea que :\(lim_{X\rightarrow \overline{0}}\frac{\sqrt{\vert xyz\vert}-0-0-0}{\Vert X\Vert}=0\)
Que es lo mismo que :\(lim_{X\rightarrow \overline{0}}\frac{\sqrt{\vert xyz\vert}-0-0-0}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0\)
O también:\(\sqrt{lim_{X\rightarrow \overline{0}}\frac{\vert xyz\vert}{x^2+y^2+z^2}}=0\)
Probemos que \(\frac{\vert xyz\vert}{x^2+y^2+z^2}}\rightarrow 0\) Cuando \(X\rightarrow 0\) pero no con la definición!!
Ver que \(x^2\leq x^2+y^2+z^2\Rightarrow\vert x\vert\leq\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Análogamente \(\vert y\vert\leq\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) Como todo es positivo:
$$\vert xy\vert\leq\x^2+y^2+z^2$$
Con lo cual \(\frac{\vert xy\vert}{x^2+y^2+z^2}\) está acotada y como además \(z\rightarrow 0\) cuando \(X\rightarrow 0\) (es un infinitèsimo) , entonces \(\frac{\vert xyz\vert}{x^2+y^2+z^2}}\rightarrow 0\) Como queríamos.
Ehhh.. cuando estás demostrando un límite, estás usando su valor, recordá que la definición de límite nos dice que:
Para todo epsilon mayor que 0, existe un delta, tal que | f(x) - L | < e.. Luego, como tu límite es 0, te queda que |f(x)| < e, y ahi empezás a acotar a lo loco (?)
Saludos!
PD: En cuando algunas otras cuestiones: Continuidad no implica derivabilidad, pero derivabilidad implica continuidad. Lo que SEGURO sabes es que si existen las derivadas parciales de una función, y son continuas, es derivable, es más, si TODAS menos una existen, es derivable 😛
Ehhh.. cuando estás demostrando un límite, estás usando su valor, recordá que la definición de límite nos dice que:
Para todo epsilon mayor que 0, existe un delta, tal que | f(x) - L | < e.. Luego, como tu límite es 0, te queda que |f(x)| < e, y ahi empezás a acotar a lo loco (?)
Saludos!
PD: En cuando algunas otras cuestiones: Continuidad no implica derivabilidad, pero derivabilidad implica continuidad. Lo que SEGURO sabes es que si existen las derivadas parciales de una función, y son continuas, es derivable, es más, si TODAS menos una existen, es derivable 😛
¿En la postdata no estás mezclando derivabilidad con diferenciabilidad?