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[semi Resuelto-Con Dudas] P:3 - Ej. 13.b

0 respuestas 4034 visitas 2009-10-11

#1 viko 2009-10-11 23:57

Continuidad, derivadas parciales y diferenciabilidad en o.

f(x,y)=\begin{Bmatrix} {xsin \( 4arctan \( \frac {y}{x} \) \) } & \mbox{ si }& x \neq{0} \\ 0 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} }

Continuidad:

\lim_{(x,y) \to (0,0)} xsin \( 4arctan \( \frac {y}{x} \) \) = 0

\(| xsin \( 4arctan \( \frac {y}{x} \) \) | < | x |\) (acoto el seno por 1)

|x| < ||(x,y)|| \ \Rightarrow \delta = \epsilon

Dudas:
1- Considerando que la función está partida a lo largo de TODA la recta \(x = 0\), debería contemplar algo extra?

2- Esto es igual// válido?

\lim_{(x,y) \to (0,0)} xsin \( 4arctan \( \frac {y}{x} \) \) = 0

\(| xsin \( 4arctan \( \frac {y}{x} \) \) | < | x4arctan \( \frac {y}{x} \) |\) (acoto el argumento del seno)

\(| x4arctan \( \frac {y}{x} \) | = |x| \ |4| \ |arctan \( \frac {y}{x} \) | < |4||x|| \frac{\pi}{2} |\) (acoto arctan por \(\frac{\pi}{2}\) )

\Rightarrow |4||x|| \frac{\pi}{2} | < |4| \ || \( x,y \) || \ | \frac{\pi}{2} | = |4 \pi | \ || \( x,y \) || \Rightarrow \delta = \frac{\epsilon}{4 \pi}

Derivadas Parciales:

f_{x}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac {tsin \( 4arctan \( \frac {0}{t} \) \) - 0}{t} = 0

f_{y}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac {0 - 0}{t} = 0

Dudas:
1- En estos casos en que la función está partida, hay calcular la derivada parcial por definición.
Sería válido calcular \(\frac {\partial f}{\partial x}\) con el truquito de tomar \(y\) como constante y considerarla como partida?

digo:
Si por el truquito tengo \(\frac{\partial f}{\partial x} = 1sin(4arctan(\frac{y}{x}))+xcos(4arctan(\frac{y}{x}) 4 \frac{1}{(\frac{y}{x})^2 + 1} \frac{y}{x^2}\)

\frac{\partial f}{\partial x}=\begin{Bmatrix} {1sin(4arctan(\frac{y}{x}))+xcos(4arctan(\frac{y}{x}) 4 \frac{1}{(\frac{y}{x})^2 + 1} \frac{y}{x^2} } & \mbox{ si }& x \neq{0} \\ 0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix} }

Bueno, en este caso creo que se me armó más kilombo porque la tengo partida en toda una recta, y tendría que calcularla para el resto de los valores en donde \(x\) es cero e \(y \neq 0\); pero generalmente puedo buscar la continuidad de la(s) derivada(s) parcial(es) para ver si \(f\)es diferenciable?

vikko

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