P:7 - Ej. 23

Hola, el ejercicio es el siguiente:

Sea \(f:[0,1]x[0,1]\longrightarrow{R^2}\) definida por:

\(f(x,y)=\)1 si x es racional ; 2y si x no es racional
Mostrar que la integral iterada \(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1}f(x,y)dydx\) existe pero f no es integrable. ¿Existe la otra integral iterada?

Yo lo pensé de la siguiente forma:
La integral \(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1}f(x,y)dydx\) esta de tal forma que primero hay que integrar en y. A priori uno diría que no se puede hacer porque la funcion vale distinto según x. Bueno entonces yo pensé, x es una constante para la integracion en y, por lo que hago dos casos:

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1}dydx\) si la constante x fuera racional.
\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1}{2y} dydx\) si la constante x fuera no racional.

Resolviendo, las dos dan 1. No se si es legal lo que hice, pero funciona XD.

Ahora la integral de f no existe, porque usando el criterio de integrabilidad ese que dice que f es integrable si y solo si para todo epsilon mayor que 0 existe una particion P tal que la resta entre la suma superior y la suma inferior es menor que episolon. Bueno pero en este caso, por mas que uno afine las particiones, si imaginamos los cuadraditos que quedan en la particion y agarramos el que esta en la esquina cerca del (1,1), la suma inferior da 1 porque siempre dentro del cuadradito hay "x" racionales y la suma superior dara más que 1 porque siempre tambien hay algun "x" no racional. Y blablabla. Creo que sería esa la justificación. La segunda integral iterada no se puede hacer porque es como integrar la funcion de Dirichlet para una variable.

Igual, preguntale a algún ayudante porque es probable que lo que dije no sea así. Yo este ej lo iba a preguntar.

Floyd, perfecto el razonamiento.

Gracias por la ayuda floyd