Sean \(F\in{C^2}\) y \(F(x,y)=\frac{{\partial^2F}}{{\partial x}{\partial y}}\) Calcular \(\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dxdy\) en terminos de F
Espero respuestas
Saludos!
Tema
[A resolver] P:7 - Ej. 21
estube 3 horas tratando de escribirte como lo hice en el lenguaje TeX pero no pude, la idea es q F es c2 y por lo tanto sus derivadas (hasta la 2da) son continuas, po lo q son integrables.
integrar f es lo mismo q intrgrar d^2 F/dxdy y esto a su vez lo podes pensar como d/dx (dF/dy) entonces ahora integras en x y usando barrow te queda la integral en y de dF/dy (dy) -dF/dy (cy) aca separas las integrales y haces barrow denuevo y llegas a F(db)-F(da)-F(cb)+F(ca)
espero que se halla entendido, si no se entendió cuando aprenda a escribir las integrales lo posteo de nuevo
Si, es medio engorroso escribir el TeX a mano.. yo deje en la seccion "anuncios" un editor livianisimo de tex q funca re bien y aca tenes uno online http://www.rinconmatematico.com/latexrender/.
En ambas opciones, escribis lo q queres y desp copias y pegas aca entre \(\)
bue no se hice lo que pude en la vista previa no aparece como deveria asi que no creo q se entienda pero bue sino copienlo y peguenlo en la pagina que posteo nico?http://www.rinconmatematico.com/latexrender/ y ahi se ve bien. creo q con eso ya se entiende lo que quise explicar antes con palabras.
algunas acotaciones: 1 no confundan (d,y) con dy. (d,y) son los puntos en los que la x vale d y la y lo que se le cante y dy es el diferencial y
2 en el razonamiento no lo dije pero es claro que una primitiva de la deribada 2da de F respecto de x e y, va a ser la deribada primera F (respecto de x o y, segun como este integrando)
\int_a^b {\int_c^d} f(xy)dxdy = \int_a^b \int_c^d \frac{{\partial \frac{{\partial F(xy)}}{{\partial x}}}}{{\partial y}} dxdy = (por Barrow) \int_a^b \frac{{\partial F}}{{\partial y}} (d,y)- \frac{{\partial f}}{{\partial y}} (c,y) dy = \int_a^b \frac{{\partial f}}{{\partial y}} (d,y) dy -\int_a^b \frac{{\partial f}}{{\partial y}} (c,y) dy = (Barrow de nuevo) F(d,b) - F(d,a)-F(c,b)+F(c,a)
Ahpra si miren q bonito que queda!!!!!!!!!1
$$\int_a^b {\int_c^d} f(xy)dxdy = \int_a^b \int_c^d \frac{{\partial \frac{{\partial F(xy)}}{{\partial x}}}}{{\partial y}} dxdy =$$
por barrow
$$= \int_a^b \frac{{\partial F}}{{\partial y}} (d,y)- \frac{{\partial f}}{{\partial y}} (c,y) dy =$$
$$= \int_a^b \frac{{\partial f}}{{\partial y}} (d,y) dy -\int_a^b \frac{{\partial f}}{{\partial y}} (c,y) dy = (Barrow de nuevo) F(d,b) - F(d,a)-F(c,b)+F(c,a)$$
Joya, me salio! 😄
ojo si alguien se pone a ojear este ejercicio, guarda porq me parece q dez en algunos lugares puso F pero iba f, o al reves!
desp cuando tenga menos sueño confirmo y lo posteo bien :S asdasdasd