Otro q no me salio :S
$$\textrm{Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:}$$
$$\int_{1}^{2} \frac{e^x}{\sqrt{-x^3+3x^2-2x}}dx$$
Firma
Tema
[A resolver] P:7 - Ej. 11
Si está mal avisen. Saludos!
\(\int_{1}^{2}{\frac{e^x}{\sqrt{-x^3 + 3x^2 - 2x}}dx} = \int_{1}^{\frac{11}{7}}{\frac{e^x}{\sqrt{-x^3 + 3x^2 - 2x}}dx} + \int_{\frac{11}{7}}^{2}{\frac{e^x}{\sqrt{-x^3 + 3x^2 - 2x}}dx}\)
Veamos la convergencia de cada integral por separado:
$$f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{-x^3 + 3x^2 - 2x}} \geq 0 \textrm{ para todo x en (1,2]}$$
Podemos comparar con
$$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \textrm{ mayor a 0 para todo x en (1,2] }$$
$$\lim_{x \rightarrow {1}^{-}}{\frac{f(x)}{g(x)}} = e$$
Luego por el criterio de comparación por paso al límite, \(\int_{1}^{\frac{11}{7}}{\frac{e^x}{\sqrt{-x^3 + 3x^2 - 2x}}dx}\) converge ya que \(\int_{1}^{\frac{11}{7}}{g(x) dx}\) converge. (g(x) es fácil de integrar y se puede resolver por definición la integral impropia y ver que converge.)
Para la segunda integral, es lo mismo, pero comparando con \(h(x) = \frac{1}{\sqrt{2-x}} \textrm{ mayor a 0 para todo x en [1,2)}\)
Luego la integral original converge.
Firma
God´s in his Heaven. All´s right with the world.
$$f(x) = \frac{e^x}{\sqrt{-x^3 + 3x^2 - 2x}} \geq 0 \textrm{ para todo x en (1,2]}$$
Fijate que en el 2] eso no esta definido =S
Si, le pifie con los intervalos. El intervalo correcto seria (1,11/7] para la primer integral, y [11/7, 2) para la segunda.
pd: el 11/7 es un punto cualquiera, podria haber elegido e/2 o alguno entre 1 y 2.
¡Floyd, eso lo sacas de una galera como la que usa Chaplin en Tiempos Modernos!
¿Algun norte para darse cuenta que hay que comparar con esas cosas?
Graciela
Firma
Pedaleo, luego existo.