$$\textrm{Analizar la convergencia de la siguiente integral:}$$
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{ln(x)}+(x-1)^2}dx$$
Gracias por la ayuda
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[A resolver] P:7 - Ejercicio 10
La integral tiene problemas en \(\infty\) y \(1\). Entonces la partís en dos cachos, \(\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{ln(x)}+(x-1)^2}dx + \int_{2}^\infty \frac{1}{\sqrt{ln(x)}+(x-1)^2}dx\). En el primer tramo, podés comparar con \(1 \over \sqrt{ln x}\), y en el segundo, \(\frac{1}{\sqrt{ln(x)}+(x-1)^2} \leq \frac1{(x-1)^2}\). En este último, por comparación, la serie converge. En el otro, hay que acordarse que cerca de 1, \(ln x \cong x-1\). Comparás \(\sqrt{ ln x}\) y \(\sqrt{x-1}\), y el criterio del límite dice que se portan igual. Como en este caso el exponente es menor que 1, también acá converge. Luego la integral converge. Si necesitas más detalles, los pongo. Saludos!