Encontrar el punto p pertenciente a E más cercano al plano yz
$$E=\left\{(x,y,z)/+3 x^2+y^2-2 x y+z^2=1\right\}$$
Tema
Práctica 6 Ej.14
Un poco tarde pero buen... espero que sirva de todos modos...
Podès pensar que la distancia al plano yz varía tanto como lo hace la variable x. Entonces podès usar multiplicadores de lagrange, minimizando la función distancia \(D(x)=x\) restringida a la condición que plantea E. Luego hay que estudiar \(D=x+\lambda (3x^2+y^2-2xy+z^2-1)\) de aquí, usando multiplicadores de lagrange planteás las siguientes condiciones
$$D'_x=1+6x\lambda-2\lambda y=0$$
$$D'_y=2\lambda (y-x)=0$$
$$D'_z=2\lambda z=0$$
$$3x^2+y^2-2xy+z^2-1=0$$
De aquí obtenés \(z=0,y=x,x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow \vert x\vert=\frac{\sqrt2}{2}\) y entonces tales puntos son \((\pm\frac{\sqrt2}{2},\pm\frac{\sqrt2}{2},0)\)