Encontrar el punto de la superficie z=xy-1 más cercno al origen
No se si estará bien, lo calculé por lagrange. Pero igual lo que quería es saber si es posible calcularlo de otro modo
Lagrange (con algunas dudas ^^):
Esta sería la función distancia de la cual quiero calcular su mínimo
$$d^2_{((x,y,z),(0,0,0))}=x^2+y^2+z^2$$
y mi restricción es \(g:\{xy-1-z=0\}\)
Primero busco puntos críticos en el interior
\(\bigtriangledown d^2_{((x,y,z),(0,0,0))}=(2x,2y,2z)\) que se anula en el (0,0,0) pero este punto no pertenece a mi restricción, así que no es punto crítico(Esta es una de mis dudas, tiene sentido ver qué pasa en el interior? o aplicando lagrange va a tirarme todos los puntos críticos con respecto a mi restricción?)
\(\bigtriangledown g=(y,x,-1)\) el cual es distinto de \((0,0,0)\quad \forall{x,y\in{\mathbb{R}}}\) así que puedo aplicar lagrange
\((2x,2y,2z)=\lambda (y,x,-1)\) y \(xy-1-z=0\)
$$2x=\lambda y$$
$$2y=\lambda x$$
$$2z=-\lambda$$
$$xy-1-z=0$$
\(\lar*\))\(x=0\quad\Leftrightarrow\quad z=-1\quad\Leftrightarrow\quad \lambda=2\quad\Leftrightarrow\quad y=0\) y como el \((0,0,-1)\in{g}\) entonces es punto crítico
si \(x=-y\quad\Rightarrow\quad \lambda=(\frac{-2y}{y})=-2\quad\Rightarrow\quad z=1\quad\Rightarrow\quad -y^2-1-1=0\) Abs!
si \(x=y\quad\Rightarrow\quad \lambda=(\frac{2y}{y})=2\quad\Rightarrow\quad z=-1\quad\Rightarrow\quad -y^2-1+1=0\)
\(\quad\Rightarrow\quad y=0\) Abs!, pues yo había partido de que \(x,y\neq0\)
Entonces mi único punto crítico es \((0,0,-1)\)
Calculo ahora el Hessiano:
Como todos sus menores principales son mayores a cero, luego el punto crítico encontrado es un mínimo
Otro modo:
Bueno, puede ser que otra forma sea parametrizar la superficie de la forma \((x,y,xy-1)\)
y calcular la distancia mínima de estos puntos al origen directamente?
Osea:
$$d^2_{((x,y,xy-1),(0,0,0))}=x^2+y^2+(xy-1)^2$$
y seguirlo de ahi. Sería como hacer los dos pasos en uno, no? O quizás estoy diciendo pavadas jajaja
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Vos estás tratando de minimizar la función distancia sobre una superficie. En estos casos el método es Lagrange; no estás estudiando ningún "interior"(pensá, ¿quién es el interior de la superficie que decís? ). O sea, todos los puntos críticos te los dan los multiplicadores de Lagrange(fijate que en la demostración del Hessiano, usás en cierto sentido que el dominio tiene interior. Más aún, que es abierto). Esto que digo indica que la demostración que hiciste para probar que el punto crítico hallado es un mínimo no está bien. Para probarlo, tenés varias alternativas; podés intentar calcular la distancia evaluada en el \((0,0,-1)\), y probar que la distancia sobre la superficie es siempre mayor que tal valor(camino que no hice la cuenta, así que no se si sale fácil). Sino, podés probar que la superficie considerada es un conjunto cerrado del espacio. Tenés un resultado acerca de compactos(se alcanzan mínimos y máximos absolutos), con lo que podrías tratar de probar que para cada acotación de la superficie de manera que tenga al \((0,0,1)\), siempre resulta mínimo.
Con respecto a la segunda forma, no se si es más económica, pero anda. Igual tenés que tener cuidado con ese proceder, debido a problemas que puede tener la parametrizción(en cuanto al dominio de la misma. No es este el caso)
Fijate si algo de esto ayuda
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Si, si, ayuda bastante exe. Pero podés explicarme un poco más sobre esto:
Igual tenés que tener cuidado con ese proceder, debido a problemas que puede tener la parametrizción(en cuanto al dominio de la misma. No es este el caso)
Me refiero puntualmente a superficies como la de la esfera, el cilindro, el cono, el elipsoide, el hiperboloide, que no son gráfica de una función de \(\mathbb{R}^{2}\) y su dominio de definición no es \(\mathbb{R}^{2}\), y tenés que cuidar más la parametrización.
Ejemplo: en la esfera \({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\eq=1\), tenés que considerar dos polos, y cuidarte que no podés mover(si fijás \(z\) como variable) los \(x,y\) tan libremente. O sea, el dominio en el que trabajás no es muy ameno. Por eso anda M.de Lagrange
Otra forma... es parametrizar la esfera con coordenadas esféricas, que puede andar y el dominio es sencillo... fijate si se entendió ahora.