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[ Resuelto] P:6-Ej.:14

6 respuestas 9015 visitas 2009-06-12

#1 Floreal Ruíz 2009-06-12 15:40

Sea \(E\) el elipsoide definido por

E={(x,y,z) \in \mathbb{R} : 3x^2+y^2-2xy+z^2=1}

Encontrar el punto \(p \in E\) más lejano al plano \(yz\)

Bueno recuerro a ustedes muchachos para que me ayuden a plantear este problema porque esto de las distancias me esta costando más de la cuenta.
El plano \(yz\) vendira a ser como una L? eso me confunde un poco.

Al que me de una mano, gracias por adelantado.

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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...

#2 Joaquín 2009-06-20 02:34

la funcion distancia al plano \(yz\) es \(f(x,y,z)=|x|\), por comodidad tomo la funcion \(f(x,y,z)=x^2\) y eso esta restringido al conjunto de nivel \(g(x,y,z)=3x^2+y^2-2xy+z^2=1\), como las funciones son \(C^1\),el gradiente de \(g\) no se anula en ningun punto, todo lo que quieras, podes usar lagrange, asi que el extremo, si existe cumple que \({\nabla}f(X_{0})=\lambda{\nabla}g(X_{0})\). de aca te salen las cuatro ecuaciones

2.x_{0}=\lambda.(6.x_{0}-2y_{0})

0=\lambda.(2.y_{0}-2.x_{0})

0=\lambda.2.z_{0}

3x_{0}^2+y_{0}^2-2x_{0}y_{0}+z_{0}^2=1

creo que se hacia asi, y de esas 4 ecuaciones podes sacar las 4 incognitas \(X_{0}\) y \(\lambda\) si \(\lambda=0, x_{0}=0\) y eso te da los mínimos. si no es 0, entonces de la 2nda y 3er ecuacion te queda \(z_{0}=0\) y \(x_{0}=y_{0}\) y si remplazas en la 4ta ecuacion sacas la coordenada \(x_{0}\) e \(y_{0}\) y te queda que \(P=(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}},\pm{\frac{1}{\sqrt{2}},0)\)

#3 ljz10 2011-03-12 17:54

Hola....
podrian explicar el razonamiento para llegar a f(x,y) = x^2 ??

muchas gracias

#4 Equinoccio 2011-03-13 23:32

ljz10 escribió:

Hola....
podrian explicar el razonamiento para llegar a f(x,y) = x^2 ??

muchas gracias

Hola, mirá. cuando yo hice análisis I siempre que se trabajabamos con distancias, elevábamos al cuadrado para evitar trabajar con los módulos. Pero la verdad, no me acuerdo por qué era esto.
Espero q t sirva.
Salu2 😉

#5 Maca.... 2011-03-14 01:54

Uno usa la función sin la raíz porque la raíz es una funcion creciente,por lo tanto,los extremos que tengas tomando raíz van a ser los mismos que sin ella( y resulta mucho mas facil hacer cuentas sin la raíz)

#6 ljz10 2011-03-24 14:07

si, lo de sacar la raiz y todo eso lo entiendo...lo que no se es xq eligieron f(x,yz) = X^2 y no cualquier otra funcion...
yo lo que pense es lo siguiente, come piden mas lejano al plano yz entonces tome x=0 y lo reemplace en la formula del elizoide pero no llego a nada..

#7 Martok 2011-12-02 00:50

Yo no terminé de entender cual es la justificación de que esos puntos serían máximos/mínimos (deberían ser máximos si es el punto más lejos, no?).