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Tema

[Resuelto] P:5-Ej.:24

11 respuestas 11281 visitas
#1 Frangipani

24)Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \(f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2\)

a) Probar que (0,0) es un punto crítico pero no extremo

\(\bigtriangledown f(x,y)=(4x^3-4(x-y),4y^3+4(x-y))\)

$$4x^3-4(x-y)=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x^3+y^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-y$$
$$4y^3+4(x-y)=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x^3+8x=0$$

Puntos críticos: \((0,0),(-\sqrt{2},\sqrt{2}),(\sqrt{2},-\sqrt{2})\)

Luego el \((0,0)\) es un punto crítico.

$$Hf(x,y)= \left(\begin{matrix}12x^2-4 & 4 \\ 4 & 12y^2-4\end{matrix}\right)$$
$$Hf(0,0)= \left(\begin{matrix}-4 & 4 \\ 4 & -4\end{matrix}\right)$$
El determinante de la matriz me da cero así que no puedo aplicar ninguno de los criterios. Analizo la función:
$$f(0,0)=0$$
Voy a ver qué pasa en \(f(0,h)\) con \((0,h)\in{\mathbb{R}}^2/||(0,h)||<\delta\)
$$f(0,h)=h^4-h^2=h^2(h^2-1)<0$$
Ahora veo qué pasa en \(f(h,h)\) con \((h,h)\in{\mathbb{R}}^2/||(h,h)||<\delta\)
$$f(h,h)=2h^4>0$$

Entonces el \((0,0)\) es un punto silla
b)Probar que \((-\sqrt{2},\sqrt{2}),(\sqrt{2},-\sqrt{2})\) son máximos absolutos ¿Hay máximos relativos?

(el \(Hf(x,y)\) está desarrollado en el punto a)

$$Hf(-\sqrt{2},\sqrt{2})= \left(\begin{matrix}20 & 4 \\ 4 & 20\end{matrix}\right)$$
$$Hf(\sqrt{2},-\sqrt{2})= \left(\begin{matrix}20 & 4 \\ 4 & 20\end{matrix}\right)$$
Los menores principales son positivos así que ambos puntos son mínimos \(f(x,y)\)
$$f(\sqrt{2},-\sqrt{2})=-8$$
$$f(-\sqrt{2},\sqrt{2})=-8$$
Como tienen el mismo valor dentro de \(f\) ambos son mínimos absolutos
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

Editado 1 vez.

#2 Maca....

pani,fijate que te falta algo en el tipeo del enunciado,porque el tex no reconoce lo q quisiste escribir ...

#3 Merfox

Probar que \((-\sqrt{2},\sqrt{2}),(\sqrt{2},-\sqrt{2})\) son máximos absolutos ¿Hay máximos relativos?
Eso quizo decir.

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rivusbrm6.jpg
thump_1538706sadamj3.jpg

#4 Frangipani

listo chichis, gracias 😉

#5 Sofía

Che, no entiendo...
El enunciado dice "probar que son máximos absolutos" y vos probaste que son mínimos.

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$$\bigstar Sofi \bigstar$$
#6 exequiel131719

Frangi, el criterio del hessiano no permite determinar si un punto crítico es máximo o mínimo absoluto, sino local(y estricto). Probaste que son mínimos locales estrictos.
PD: debería decir mínimos al principio, no máximos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#7 Florencia

y como hago para mostrar que son absolutos???

#8 Cristianrock

Florencia escribió:

y como hago para mostrar que son absolutos???

Como va de R n a R entonces calculas todos los relativos y te fijas cual es mayor.

#9 Quimey

mmm, me parece que fruteaste a full.
Cual es el maximo absoluto de \(x^2\)?

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Quimey

#10 Cristianrock

Quimey escribió:

mmm, me parece que fruteaste a full.
Cual es el maximo absoluto de \(x^2\)?

si es compacto entonces y tiene maximos relativos

#11 ivoo

pero te piden en todo R^2 que obiamente no es compacto, asi que tu idea no sirve de mucho me parece.

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$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
#12 DanielK

Para probar que son mínimos absolutos, aprovechando que sabemos cuales son los puntos tratamos de escribir a la función como suma de cuadrados que se anulen en esos puntos, o como suma de cuadrados de \(x+y\) que sabemos que en los minimos vale \(0\).

$$f(x,y)=(x^2-2)^2+(y^2-2)^2+2x^2+2y^2-8+4xy= (x^2-2)^2+(y^2-2)^2+2((x+y)^2)-4)$$
Es claro que el valor mas chico posible seria cuando los cuadrados sean \(0\). Esto ocurre precisamente cuando \(x^2=2\) \(y^2=2\) y \(x+y=0\) y vemos que los puntos del enunciado lo cumplen
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Daniel