Para las siguientes funciones, encontrar los puntos críticos y anallizar cuáles son máximos, mínimos locales o puntos de ensilladura. Si fuera necesario relice el mapa de gradientes para analizar lo pedido.
a)\(f(x,y)=(2x+1-y)^2\)
\(\bigtriangledown f(x,y)=(4(2x+1-y), -2(2x+1-y))=(0,0)\)
Puntos críticos: \((x,2x+1)\)
\(f(x,2x+1)=0\) y \(f(x,y)=(2x+1-y)^2\geq0\)
Entonces \((x,2x+1)\) es una recta de mínimos absolutos
b)\(f(x,y)=x^2-y^2-xy+3x+3y+1\)
\(\bigtriangledown f(x,y)=(2x-y+3,-2y-x+3)=(0,0)\)
Entonces mi punto crítico es \((\frac{-3}{5},\frac{9}{5})\)
Analizo la función en torno al punto \((0,0,0)\)
Entonces el \((0,0,0)\) es punto silla
j)\(f(x,y)x^2-2xy^2+y^4-y^5\)
\(\bigtriangledown f(x,y)=(2x-2y^2,-4xy+4y^3-5y^4)\)
Punto crítico: \((0,0)\)
Voy a ver qué pasa en \(f(h,0)\) con \((h,0)\in{\mathbb{R}}^2/||(h,0)||<\delta\)
El (0,0) es un punto silla
k)\(f(x)=\frac{1}{1+||x||^2}\quad x\in{\mathbb{R}}^n\)
Las derivadas parciales de \(f(x)\) son de la pinta:
\(f(x)=\frac{1}{1+||x||^2}\leq1\) pues \(||x||^2\geq 0\)
Luego \((0,...,0)\) es un máximo absoluto
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
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