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[Resuelto] P:5-Ej.:28

4 respuestas 6513 visitas 2009-06-07

#1 Frangipani 2009-06-07 13:47

Decidir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justifique
a) El polinomio de Taylor de $f(x,y)$ en $(0,0)$ es:

$$P(x,y)=1+x-y+x^2+y^2$$

entonces $f(x,y)$ es convexa en $\mathbb_{R}^2$

Falso! Contraejemplo:

$$f(x,y)=1+x-y+x^2+y^2-x^3$$

\bigtriangledown f(x,y)=(1+2x-3x^2, -1+2y)

Quiero ver cuando se anula el gradiente. Esto ocurre si:

1+2x-3x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x_{1}=1\quad x_{2}=-\frac{1}{3}

-1+2y=0\quad\Leftrightarrow\quad y=\frac{1}{2}

Luego, mis puntos críticos son $(1,\frac{1}{2}), (-\frac{1}{3},\frac{1}{2})$

Hf(x,y)=\left(\begin{matrix}2-6x & 0 \\ 0 & 2\end{matrix}\right)\quad\Rightarrow\quad Hf(1,\frac{1}{2})=\left(\begin{matrix}-4 & 0 \\ 0 & 2\end{matrix}\right)

y su determinante es -8 que es menor a cero

Entonces esta función, cuyo PT de orden dos es $P(x,y)=1+x-y+x^2+y^2$, tiene un punto silla en $(1,\frac{1}{2})$

Por lo tanto el enunciado es falso

b) Si el polinomio de Taylor de $f(x,y)$ en $(0,0)$ es

$$P(x,y)=1+2x-y+xy-x^2+y^2$$

entonces $g(x,y)=f(x,y)-2x+y+x^2y$

Tiene un mínimo local en $(0,0)$

Saco las derivadas segundas de $f(x,y)$ del PT:

\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(x,y)=-2

\frac{\partial^2 f}{\partial x,y}(x,y)=1

\frac{\partial^2 f}{\partial^2 y}(x,y)=2

Quiero conocer las derivadas segundas de $g(x,y)$ para analizar el Hessiano.

\bigtriangledown g(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-2+2xy,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)+1+x^2)

Hg(x,y)=\left(\begin{matrix}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(x,y)+2y& \frac{\partial^2 f}{\partial y,x}(x,y)+2x \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x,y}(x,y)+2x & \frac{\partial^2 f}{\partial^2 y}(x,y) \end{matrix}\right)\quad\Rightarrow\quad Hg(0,0)=\left(\begin{matrix}-2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right)

entonces el determinante de $Hg(0,0)=-5$

Por lo tanto es falso, puesto que $g(x,y)$ tiene un punto silla en el $(0,0)$

Firma

"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

Editado 3 veces.

#2 Quimey 2009-06-07 14:30

Fijate que te quedó mal el tag de Resolución (lo del minimo local tiene que ir afuera).
El a) me parece que está bien, pero el b) no lo veo bien:
La derivada cruzada de f no deberia ser 1/2 y las otras no son una positiva y la otra negativa?
Puede que esté mandando fruta porque mucho no me acuerdo.

Firma

Quimey

#3 Frangipani 2009-06-07 14:49

Quimey escribió:

Fijate que te quedó mal el tag de Resolución (lo del minimo local tiene que ir afuera).
El a) me parece que está bien, pero el b) no lo veo bien:
La derivada cruzada de f no deberia ser 1/2 y las otras no son una positiva y la otra negativa?
Puede que esté mandando fruta porque mucho no me acuerdo.

Si, me equivoqué el signo de la derivada segunda respecto de x, gracias quimey ahi lo cambié.

Igual las derivadas cruzadas son cero. Si fuesen 1/2, tendría que aparecer xy en el polinomio (si no me equivoco).

#4 Quimey 2009-06-07 15:17

Justamente:

Frangipani escribió:

...
b) Si el polinomio de Taylor de $f(x,y)$ en $(0,0)$ es
$$$P(x,y)=1+2x-y+xy-x^2+y^2$$$
entonces $g(x,y)=f(x,y)-2x+y+x^2y$
...

#5 Frangipani 2009-06-07 15:31

Quimey escribió:

Justamente:

Frangipani escribió:

...
b) Si el polinomio de Taylor de $f(x,y)$ en $(0,0)$ es
$$$P(x,y)=1+2x-y+xy-x^2+y^2$$$
entonces $g(x,y)=f(x,y)-2x+y+x^2y$
...

jajaja, resolvi el ejercicio con el polinomio de taylor del punto a) me parece. Ahora lo reviso y lo cambio. Gracias Quimey ^^

Igual, tendría que ser 1 entonces. Pq son dos veces las derivadas cruzadas