El ejercicio me parece muy fácil pero no se por donde empezar a encararlo: si por la definicion de funcion convexa/cóncava, por el lado del Hessiano o por la derivada segunda.
Probar que:
a) Una funcion estrictamente cóncava es cóncava.
b) La suma de dos funciones convexas es convexa.
c) Si F es una funcion convexa y a un número positivo, entonces aF es una funcion cóncava.
d) La suma de una funcion cóncava y una estrictamente cóncava, es estrictamente cóncava.
e) Si F es cóncava entonces -F es convexa.
f) Si una funcion es afín entocnes es cóncava y convexa.
g) Si F es cóncava y H es afín, entonces HoF y FoH (las composiciones) son cóncavas, siempre que se puedan componer.
Una funcion afin es una funcion lineal, no se si es la definicion exacta de funcion afin, pero por ahi anda =P
Dps, para probar eso tendrias que ver la definicion, ahora no la recuerdo, pero seguro en la teorica la vieron. Por ejemplo, en el primer caso si estricamente concava es obvio que es concava, pues si es mayor estricata es un caso particular de que sea mayor o igual (como dije antes, no recuero la definicion exacta, pero se basaba en que el segmento que une dos puntos es mayor o igual que la funcion en ese pedazo, de ahi mismo sale que si es afin es concava y convexa)
Es una ayuda muy por encima, pero en algo lo va a hacer
una función afín es una variedad lineal(o sea, es una transformación lineal desplazada)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
usando lo que dijeron traté de ver de resolver el ejercicio, pero todabía me presenta un par de dificultades
Antes que nada la definición de Concavidad y Convexidad que vimos:
Concavidad:
$$f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$$
Convexidad
$$f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$$
Si una función afin es una transformación leneal desplazada, es decir:
\(f(x)=Ax+b\) talque \(A\in{\mathbb_{R}}^{nxn}\) y \(x,b\in{\mathbb_{R}}^n\)
Entonces \(f:{\mathbb_{R}}^n \rightarrow{\mathbb_{R}}^n\)
Pero para la definición de Concavidad que nosotros vimos era para funciones
$$f:{\mathbb_{R}}^n \rightarrow{\mathbb_{R}}$$
Es decir que necesito que mi función afin sea:
\(f(x)=<a,x>+b\) talque \(a,x\in{\mathbb_{R}}^n\) y \(b\in{\mathbb_{R}}\)
$$\Rightarrow f(tx+(1-t)y)=<a,tx+(1-t)y>+b=$$
$$t<a,x>+(1-t)<a,y>+b=$$
(esta es la parte que no entiendo, pq el desplazamiento "b" me molesta para continuar la igualdad)
\(=tf(x)+(1-t)f(y)\) (esto ya no creo que sea cierto)
\(\Leftrightarrow\quad f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)\) y
$$f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$$
Además ¿sigue siendo una función afin pese a que "a" no es una matriz cuadrada como dijeron?.
¿Vale mi verificación?
Bueno, igual espero que te haya servido de algo Ivan ^^
Firma
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Si la afín es una transformación lineal cumple: \(T(a+b)=T(a)+T(b)\)
Y ahí planteas convexidad y te queda que se cumple la igualdad (o sea no vale el menor estricto), lo mismo para concavidad. En ambas vale la igualdad, así lo planteé yo.
No es cierto que las afines sean lineales.
ejemplo: f=x+2
f(x+y)=2x+2y+2
f(x)=2x+2
f(y)=2y+2
f(x)+f(y)=2x+2y+2+2=f(x+y)+2
Pero si es cierto que preservan combinaciones convexas, es decir, f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y).
Yo me equivoque en la definicion de afin, es mejor lo que puso Frangipani.
La resolución de Frangipani esta bien. La parte que no justifica es porque b=1 b =(t+1-t)b= t b + (1-t)b.
Tampoco sacan escalares.