a) Demostrar que existe un entorno \(U\!\subseteq\! \Re^2\) tal que (1,1) \(\in U\), un entorno \(V\subseteq\) y una inversa para \(F, F^-1: V\rightarrow U, C^1\) tal que \(F^-1(-7,2)=(1,1)\)
b) \(g:\Re^2\rightarrow\Re$ una funcion $ C^1$ tal que $ \frac{\partial g}{\partial x} (1,1)=2$ , $ \frac{\partial g}{\partial y}(1,1)=5$ , $ v=(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).\)
Bueno la primera parte creo que la resolví bien, lo que no entiendo del todo es el desarrollo de la composición que tengo y como calcular la derivada direccional.
Gracias por adelantado!
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...
Solo para ver si entendi mas o menos el T. F. Inversa...
\(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)
$$F(x, y) = (x^3y + 3x^2y^2 - 7x -4y, xy + y)$$
Como todas las componentes de \(F\) son composiciones de continuas, y mas aún, de \(C^1\), puedo decir que F es \(C^1\).
Para estar en las hipótesis del T. F. Inversa, quiero ver que el Jacobiano de F sea distinto en el punto en que quiero usar el teorema, (1, 1).
La matriz jacobiana es:
$$\begin{vmatrix}3yx^2 + 6xy^2 - 7 & x^3 + 6x^2y - 4 \\ y & x + 1 \end{vmatrix}$$
Si la evalúo en mi punto, obtengo...
$$\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$
El jacobiano de una función es el determinante de la matriz jacobiana, entonces hago...
Entonces el jacobiano no es 0. Por lo tanto, el Teorema de la Función Inversa me dice que existe, en un entorno \(U \subset \mathbb{R}^2\) de (1, 1) donde F es una bijección, y por lo tanto, tiene inversa (\(F^{-1}\)) en este entorno.
Podemos comprobar esto porque nos dicen que \(F^{-1}(-7, 2) = (1, 1)\), osea que \(F(1, 1) = (-7, 2)\), lo cual es cierto.
Ahora, para g, me piden \(\frac{\partial{(g \circ F^{-1})(-7, 2)}}{\partial{v}}\), con \(v = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\)
Para sacar una derivada direccional, si \(||v|| = 1\), vale que \(\frac{\partial{f(P)}}{\partial{v}} = <\nabla f (P), v>\)
Es facil ver que ||v|| = 1, entonces puedo usar la igualdad.
Quiero entonces encontrar \(<\nabla (g \circ F^{-1}) (-7, 2), v>\).
Por la regla de la cadena, si \(F^{-1}\) es diferenciable en (-7, 2) y g es diferenciable en \(F^{-1}(-7, 2) = (1, 1)\), entonces vale que \(D(g \circ F^{-1}) = D_{g_{(1, 1)}} . D_{F^{-1}_{(-7, 2)}}\). \(D_{g_{(1, 1)}}\) ya me la dan en el enunciado, porque se que \(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}(1, 1) = 2\), y \(\frac{\partial{g}}{\partial{y}}(1, 1) = 5\). Como las derivadas parciales de g son continuas en todas partes, es \(C^1\) y vale que \(\nabla g (1, 1) = (\frac{\partial{g}}{\partial{x}}(1, 1), \frac{\partial{g}}{\partial{y}}(1, 1)) = (2, 5)\).
Para encontrar \(D_{F^{-1}_{(-7, 2)}}\), uso que el Teorema de la Función Inversa me dice que, en este entorno U, vale que \(D(F^{-1}) = (DF)^{-1}\).
(Ya probé que era invertible, y para dar vuelta una matriz de 2x2 cambio los signos de la diagonal 45º y cambio de lugar los numeros de la de 135º, y lo multiplico por 1/det, pero aca sabemos que es 1).