Piden: Continuidad, derivadas parciales, y diferenciabilidad en el (0,0) de f
$$f(x,y)=\begin{Bmatrix}\large {x^3-y^3}\over{\large{x^2+y^2}& \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \mbox{si\ \ \ (x,y)=(0,0)}& \end{matrix} }$$
Continuidad: \(f(0,0)=0\ \ \ q.v.q\ \ \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\) tiende a 0 cuando
$$(x,y)\longrightarrow (0,0)$$
$$|\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}|\leq |x|+|y|\leq 2 ||(x,y)-(0,0)||$$
Con \(\delta=\frac{\epsilon}{2}\) pruebo que es continua
Derivadas Parciales:
$$f_{x}(0,0)=1\ \ \ \ \ f_{y}(0,0)=-1$$
Diferenciabilidad: (acá tengo dudas)
si este límite da 0, entonces es diferenciable: \(\frac{|f(x,y)-f(0,0)-1.(x-0)-(-1)(y-0)|}{||(x,y)||}\longrightarrow 0\)
$$=\frac{|\frac{x^3-y^3-x(x^2+y^2)+y(x^2+y^2)}{x^2+y^2}|}{||(x,y)||}$$
$$=\frac{|yx^2-xy^2|}{||(x,y)||^3}$$
Acotando eso llego a esto:
\(\frac{|yx^2-xy^2|}{||(x,y)||^3}\leq \frac{|y x^2|}{||(x,y)||^3}+\frac{|x y^2|}{||(x,y)||^3}\leq \frac{||(x,y)||^3}{||(x,y)||^3}+\frac{||(x,y)||^3}{||(x,y)||^3}=2\)
y ese 2 no me sirve para nada....¿me confundí en alguna cuenta?. No puedo decir nada de la diferenciabilidad de f ¿no?
¿o pruebo con una curva que ese cociente no tiende a 0?
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