Encontrar puntos críticos y analizar cuáles son silla.
El (1,0) y el (-1,0) son, y el profe dio una demostración de porqué, pero la verdad es que no entendí bien.
Para el (1,0) era algo así como que si tomabas la recta f(1,y) te daba siempre creciente porque la derivada [\(f'(1,y)\) = \(3 y^2]\) es siempre positiva. Lo cual es cierto, pero no entiendo cómo prueba eso que es un punto de ensilladura.
Tengo problemas con este. Me pide puntos críticos y máximos/mínimos/silla. Si derivo e igualo a cero me queda que los críticos son una recta... después de ahí ni idea.
si encontras una recta,segui trabajando con ella,calculas las derivadas segundas p/el Hessiany analizas si son maximos , minimos o puntos silla,,ssaludos!
Para el de \(f(x,y)=x^3+y^3-3x\)
Armas el gradiente, lo igualas a 0 y te quedan (1,0) y (-1,0) como ptos. críticos.
El problema es que el determinante del Hessiano se anula en esos puntos, así que el criterio no te sirve para decidir.
Por eso usas la definición de punto silla: si existen dos trayectorias tales que a lo largo de una f tiene un mínimo en P; y a lo largo de la otra f tiene un máximo en P entonces P es pto. silla. Para el (1,0)
La derivada de \(f(1,y)\) es siempre positiva y la derivada de \(f(1,-y)\) es siempre negativa
(y tendiendo a 0) así que (1,0) es pto. silla. Lo mismo para (-1,0)
Para el otro en realidad el enunciado (práctica 2009) te pide dónde es convexa y si con ese dato podés determinar máximos,mín, etc. Para saber donde es convexa planteas dos cosas: \(f_{xx}>0\)
y \(detHf>0\)
Yo lo resolvi de otro modo Mr. Satan. A ver si está bien 😛
\(f(x,y)= x^3+y^3 -3x\)
Como \(f\) es \(C^ \infty\) entonces puedo asegurar que los únicos puntos críticos serán los \((x_{0},y_{0})\) talque \(\bigtriangledown f(x_{0},y_{0})=0\)
Como el Determinante de la matriz es igual a cero no puedo aplicar ningún criterio
(hasta acá todo igual a Mr Satan ^^, pero yo ahora lo sigo con la función misma, en vez de la derivada.)
Entonces voy a ver qué pasa en \(f(1,0)\) y en \(f(1+h,k) \quad (h,k)\in{\mathbb_{R}}^2/||(h,k)||<\delta\)
i.e. Quiero ver cómo se comporta la función entorno al \((1,0)\). Si el punto es un mínmo, entonces \(f(1+h,k)\geq f(1,0)\). Y si el punto es un máximo, entonces \(f(1+h,k)\leq f(1,0)\)
$$f(1,0)= -2$$
Me fijo acercándome por y=k (es parecido a lo que hacíamos en límites
$$f(1,k)= 1+k^3 -3=-2+k^3$$
acá si k tiende a cero por los negativos, entonces obtendremos resultados menores a menos 2, y si ka tiende al cero por los positivos, entonces los resultados seran mayores al 2.
Esto me indica que la función a la "izquierda" del punto me da resultados menores a f en el punto, y por la "derecha" resultados menores.
Osea que f no tiene ni máximo ni mínimo en el (1,0)
$$f(-1,0)= 4$$
Me fijo acercándome por y=k (es parecido a lo que hacíamos en límites
$$f(1,k)= 1+k^3 +3=4+k^3$$
Igual que antes, voy a obtener números mayores y menores a 4 entorno al (-1,0)
Punto silla también
El tuyo no lo entendi del todo,
si existen dos trayectorias tales que a lo largo de una f tiene un mínimo en P; y a lo largo de la otra f tiene un máximo en P entonces P es pto. silla
eso no lo entiendo
Firma
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
acá si k tiende a cero por los negativos, entonces obtendremos resultados menores a menos 2, y si ka tiende al cero por los positivos, entonces los resultados seran mayores al 2.
Esto me indica que la función a la "izquierda" del punto me da resultados menores a f en el punto, y por la "derecha" resultados menores.
Osea que f no tiene ni máximo ni mínimo en el (1,0)
Eso que vos hiciste es lo correcto frangi...pasa que yo quise usar la idea del profe de meolans :
usé la definición de punto silla, si me acerco por dos curvas y por una P es mín. y por otra P es máx entonces P es pto. silla.
En vez de mirar que le pasa a la función cerca del (1,0) , estudié el signo de la derivada de la composición de f, o sea \(f(\alpha (t))\) donde \alpha (t) es una de las dos curvas
O sea la curva que tomó el profe es \(\alpha (t)=(1,t)\)