a)Decidir si \(f\) tiene extremos absolutos en \(\mathbb {R}^2\) y en caso de que existan, encontrarlos.
b)Decidir si \(f\) tiene extremos absolutos en \(D={(x,y) \in \mathbb {R}^2 : \frac {x^2}{9} + y^2 \leq 1, x+3y \geq 0}\)
La parte A es fácil (para mí), y solo la puse para acotar que, de estudiar el gradiente de \(f(x,y)\) en \(\mathbb {R}^2\) encontramos un único punto crítico, el \((\frac {1}{6},0)\), pero en la restricción D en el item B, que es lo que nos interesa, pertenece al interior de la misma.
Lo que hice fue, graficar la restricción. La primera ecuación nos da lo que está dentro y en el borde de una elipse, y la segunda, lo que está abajo de una recta con pendiente negativa que pasa por el origen y corta dos veces a la elipse (no sé si se lo imaginan, queda media torta ovalada (menos en realidad, no la corta a la mitad exactamente)).
El tema es que ahora no sé bien como encarar multiplicadores. Calculé las intersecciones, pero no se me ocurre como dividir la frontera o como estudiar \(f\) en la restricción.
lo primero q deberias hacer es dejarlas separadas las dos restricciones: \(g(x,y)=(x^2)/9+y^2-1\) y \(h(x,y)=x+3y..\)
para g(x,y), haces un lagrange con la f(x,y) q te dieron.. eso te deberia de salir, sino avisa.. te tiene que quedar q los puntos son (3,0), y (-3,0) (este último no cumple la condicion de \(g(x,y)<=1\), asi q no te sirve..
para h(x,y), haces una parametrizacion, decis que \(y=-x/3\), despues haces \(f(x,-x/3)=3x^2+27*(-x/3)^2-x+1=3x^2+27*((x^2)/9)-x+1=3x^2+3x^2-x+1=6x^2-x+1\)
eso lo derivas y te queda \(f'(x,y)=12x-1\).. sabes desde el cbc que la derivada de una funcion igualada a 0 te quedan puntos criticos ahi, asi q sacas q \(12x-1=0\) si \(x=1/12\) por lo que y sera -1/36 (esto sale de que \(y=-x/3\))
los puntos que te quedan son:
(0,1/6) que lo sacaste con el gradiente
(3,0) que lo sacaste con lagrange sobre g
(1/12, 1/36) que lo sacaste parametrizando h
evaluas los 3 sobre f y te queda que
(0,1/6) es minimo absoluto
(3,0) es maximo absoluto
espero q se haya entendido todo..
si te queda alguna duda pregunta 😉
Yo lo hice sin usar multiplicadores de Lagrange y creo que está bien.
Cualquier cosa por favor corrijan.
\(f(x;y) = 3 x^2 + 27 y^2 - x + 1\)
a) Me piden los extremos absolutos de \(f\) en \(\Re^2\)
Para encontrarlos, primero busco los puntos donde se anula el gradiente (críticos), luego uso el criterio del Hessiano para determinar de qué tipo de extremos se trata y comparo sus valores para determinar si son absolutos o locales.
$$\nabla f(x;y) = ( 6 x - 1 ; 54 y ) = ( 0 ; 0 ) \Leftrightarrow ( x ; y ) = ( \frac{1}{6} ; 0 ) = P_0$$
$$H f ( P_0 ) = \begin{pmatrix} 6&0\\0&54 \end{pmatrix}$$
es definida positiva \(\therefore P_0\) es un punto mínimo de valor \(f(P_0) = \frac{11}{12} \tilde{=} 0,92\)
b) Ahora me piden los extremos absolutos de \(f\) en \(D \in \Re^2\).
Debo analizar los valores f tanto el interior de D (\(\mathring{D}\)) como en sus bordes (\(\delta D\)).
\(P_0 \in \mathring{D} \because ( \frac{(\frac{1}{6})^2}{9} + 0^2 \leq 1 ) \wedge ( \frac{1}{6} + 3 \cdot 0 \geq 0 ) \therefore P_0\) es un punto mínimo de f en D de valor \(f(P_0) = \frac{11}{12} \tilde{=} 0,92\).
Para saber si es un mínimo local o absoluto, debo comparar su valor con el de los otros mínimos que pueda llegar a encontrar.
\(D_1\) define el interior y el borde de una elipse centrada en (0;0) de radio horizontal 3 y radio vertical 1 (estoy casi seguro de que no se dice así, creo que se decían "semiejes" o algo por el estilo, si alguien sabe cómo sería bien dicho, por favor corrija)
\(D_2\) define una recta de pendiente negativa que pasa por el origen y a todos los puntos que se encuentran por encima de ella.
Por lo que, graficando, puedo ver que el borde de D queda conformado por:
En el primer cuadrante, la parte positiva de la elipse de \(D_1\).
En el segundo, continua la parte positiva de la elipse de \(D_1\) hasta que interseca con la recta de \(D_2\) en el punto \(P_1 = (\frac{-3}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}})\) y luego continua por ella hasta llegar al origen.
Y en el cuarto cuadrante, continua por la recta de \(D_2\) hasta intersecar con la parte negativa de la elipse de \(D_1\) en \(P_2 = (\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}})\) y luego continua por ella hasta donde empieza nuevamente la parte positiva de la elipse en \(P_3 = (3;0)\).
(Los puntos de intersección entre \(D_1\) y \(D_2\) los calculé tomando las inecuaciones que los definen como si fueran ecuaciones, considerándolas como parte de un mismo sistema (compatible determinado) de \(2 x 2\) y resolviendo)
En clase me recomendaron no usar el método de multiplicadores de Lagrange si no era absolutamente necesario, así que primero voy a ver si puedo parametrizar el borde de D y componerlo con f, para luego estudiar allí sus extremos.
Parametrizo la parte recta del borde de D como \(\delta_1 D (t) = (t ; \frac{-1}{3}t ) \wedge t \in [ \frac{-3}{\sqrt{2}} , \frac{3}{\sqrt{2}} ]\) .
Parametrizo la parte elíptica negativa de D como \(\delta_2 D (t) = ( t ; - \sqrt{1 - \frac{t}{3}^2 } ) \wedge t \in [ \frac{3}{\sqrt{2}} , 3 ]\) .
Parametrizo la parte elíptica postiva de D como \(\delta_3 D (t) = ( t ; \sqrt{1 - \frac{t}{3}^2 } ) \wedge t \in [ - \frac{3}{\sqrt{2}} , 3 ]\) .
Compongo \(\delta_1 D ( t )\) con \(f (x;y)\) y busco sus extremos:
\(f ( \; \delta_1 D ( t ) \; ) = 6t^2 - t + 1 = 0\) (función cuadrática "sonriente") (si alguno sabe cómo se dice formalmente por favor corríjame)
Resolviendo la cuadrática obtengo que \(t \not{\in} \Re\) , es decir que \(f ( \; \delta_1 D ( t ) \; ) > 0 \forall t \in \Re \therefore\) esta parte no me aporta puntos críticos nuevos.
Compongo \(\delta_2 D ( t )\) con \(f (x;y)\) y busco sus extremos:
\(f ( \; \delta_2 D ( t ) \; ) = -t + 28 = 0\) (función lineal decreciente)
Resolviendo para t, obtengo que \(t = 28 \not{\in} [\frac{3}{\sqrt{2}} , 3] \therefore\) esta parte tampoco me aporta puntos críticos nuevos.
Compongo \(\delta_3 D ( t )\) con \(f (x;y)\) y busco sus extremos:
\(f ( \; \delta_3 D ( t ) \; ) = -t + 28 = 0\) (función lineal decreciente)
Al igual que en el caso anterior, resolviendo para t obtengo que \(t = 28 \not{\in} [\frac{-3}{\sqrt{2}} , 3]\) por lo que tampoco me aporta puntos críticos nuevos.
Analizo los puntos críticos que obtuve hasta ahora:
\(P_0 \in \mathring{D} / P_0 = ( \frac{1}{6} ; 0 )\) es un punto mínimo de valor \(f(P_0) = \frac{11}{12} \tilde{=} 0,92\)
\(P_1 \in \delta D / P_1 = ( \frac{-3}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}} )\) es un extremo de valor \(f(P_1) \tilde{=} 30,12\)
\(P_2 \in \delta D / P_2 = ( \frac{3}{\sqrt{2}} ; \frac{-1}{\sqrt{2}} )\) es un extremo de valor \(f(P_2) \tilde{=} 25,88\)
\(P_3 \in \delta D / P_3 = ( 3 ; 0 )\) es un extremo de valor \(f(P_3) = 25\)
\(\therefore P_0\) es el mínimo absoluto de f en D y \(P_1\) es el máximo absoluto de f en D, mientras que \(P_2\) y \(P_3\) son candidatos a ser extremos locales (que no se piden en el ejercicio).
Firma
Vicente Luy escribió:
Si me equivoco contradíganme con amor, porque con amor digo.
Si erro póngame maestros, que luego yo les enseño, porque con amor hago.