Sea a>0, real, y \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x,y)\eq={y}^{3}+3{x}^{2}y-15ay-12x\)
a) Encontrar TODOS los posibles valores de a que hacen que f tenga algún punto crítico.
b) Elegir uno de los valores de ''a'' hallados y hacer un análisis de los puntos...(saben el resto ya de memoria, creo)
c)Analizar la existencia de extremos absolutos
Elegí este por la parte a), y c). La parte b) es la estándar... así que, solo digo un comentario y listo. Empecemos con la parte c). ¿Puede haber extremos absolutos? La respuesta es no; en efecto, si tomamos todos los puntos de la forma (0,y), queda:
$$f(0,y)\eq= {y}^{3}-15ay\eq=y({y}^{2}-15a)$$
\(\lim_{y\rightarrow +\infty} y({y}^{2}-15a)\eq=+\infty\) como se comprueba con facilidad. De manera análoga, se prueba \(\lim_{y\rightarrow -\infty} y({y}^{2}-15a)\eq=-\infty\)
Esto quiere decir que la imagen de f no está acotada ni superior ni inferiormente. Luego, no puede haber un extremo absoluto máximo o mínimo, pues siempre puedo exhibir un elemento más grande o chico que el que elijo.
Una vez abolida la existencia de extremos absolutos, pasemos a estudiar el ejercicio a)
Puesto que f es \({C}^{1}\;en\;\mathbb{R}^{2}\), de tener extremos, estos son puntos críticos. Luego, calculemos tales derivadas e igualémoslas a 0:
$${f}_{x}(x,y)\eq=6xy-12\eq=0$$
$${f}_{y}(x,y)\eq=3{y}^{2}+3{x}^{2}-15a\eq=0$$
El anterior sistema es equivalente a este:
$$xy\eq=2$$
$${y}^{2}+{x}^{2}\eq=5a$$
De la primera ecuación concluimos que x,y son ambos distintos de cero, de satisfacer el sistema. Luego, despejamos \(y\eq=\frac{2}{x}\) y reemplazamos(notemos también que si ''a'' no fuera positivo, la segunda ecuación nunca se cumpliría)
$$\frac{4}{{x}^{2}}+{x}^{2}\eq=5a$$
$$4+{x}^{4}\eq=5a{x}^{2}$$
$${x}^{4}-5a{x}^{2}+4\eq=0$$
Les queda una bicuadrada, que solo tendrá soluciones reales, si \(25{a}^{2}-16\geq0\) (si se fijan, es el discriminante de la ecuación, es decir, lo que está dentro de la raíz cuadrada, b²-4ac. Otra coasa, uso también que a>0, para asegurar que 5a>0. Si no, tendría que analizar esto). Se concluye que \(25{a}^{2}\geq16 \Leftrightarrow {a}^{2}\geq \frac{16}{25}\). Se concluye \(|a|\geq \frac{4}{5}\), para que haya alguna solución. Como a>0... \(a\geq \frac{4}{5}\)
La parte b reside en elegir algún valor adecuado; yo les recomiendo que sea \(\frac{4}{5}\) para eliminar del camino al discriminante, y tener solo 5a=4, y les da las bonitas raíces \(\sqrt{2},\;-\sqrt{2}\). Otra cosa, muy importante. El sistema que quedó es simétrico elemental; quiere decir, que si es solución (x,y), también lo es (y,x), así que tengan cuidado( es decir, no importa cual es x o y; fíjense esto, porque pueden perder soluciones accidentalmente, en particular, la mitad.). Como les décía, con el valor que dije, les dan solo dos puntos puntos críticos, con lo que el posterior análisis es rápido(no me fijé que pasaba con el Hessiano, pero no creo que quede muy mal)
Espero que este ejercicio haya contribuído. Saludos, y suerte en el parcial.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
la verdad no recuerdo si este lo hice o era uno muy parecido, pero tengan cuidado porque al tomar a = 4/5 si bien el discriminante se hace 0, el hessiano tambien, asique no vale el criterio. tal vez es mejor tomar a=1 que tambien es una cuenta sencilla y creo que para ese valor el hessiano es distinto de 0.
igual se puede serolver de las 2 formas, y si te da que el hessiano vale 0 y no sabes como resolverlo de otra forma, tomas otro "a" y probas denuevo.
Si me equivoque de ejercicio perdon, pero esta bueno ternerlo en cuenta.