La idea de este topic es lo que dice el título. Evitar usar multiplicadores de Lagrange, si no es tan necesario. Este método está muy bueno en situaciones donde otros enfoques no son adecuados, pero hay que tener en cuenta que, si bien el sistema que queda es ''resoluble'', pueden perderse con facilidad soluciones, o cometerse errores de despeje, etc...
Bueno, en vez de tanta charla, un ejemplo:
$$\textrm{Sea}\;A\eq=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:{x}^{2}+{y}^{2}\eq=1 \},\;f(x,y)\eq={x}^{2}{y}^{2}-{y}^{2}$$
$$\textrm{Encontrar\;todos\;los\;extremos\;absolutos\;de\;f\;sobre\;A}$$
El ejercicio original tenía también el interior de la circunferencia. Yo se lo saqué, porque creo que no era muy difícil esa parte. Estamos sobre una curva(el borde de una bola de radio 1, centrada en el (0,0)). Luego, este conjunto es compacto, por ser acotado y cerrado. Como f es continua sobre A(y particularmente diferenciable), alcanza sus extremos absolutos. Lo que podría hacerse es usar multipl. de Lagrange, pero vamos a usar otra idea. Recordemos que una circunferencia de radio r centrada en el origen puede ser parametrizada, de la forma \(\sigma (t):[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb{R}^{2},\;\sigma (t)\eq=(r\cos(t);r\sin(t))\)
En este caso, r=1, luego los puntos sobre A pueden describirse \((x,y)\eq=(\cos(t);\sin(t))\). Sustituyo en la función original:
$${f}_{0}\sigma (t)\eq=g(t)\eq={(\cos(t))}^{2}{(\sin(t))}^{2}-{(\sin(t))}^{2}\eq=({(\cos(t))}^{2}-1){(\sin(t))}^{2}\eq=-{(\sin(t))}^{2}{(\sin(t))}^{2}\eq=-{(\sin(t))}^{4}$$
Notemos que el dominio de la nueva función es cerrado, luego, estudio el interior(el exterior son los puntos que limitan al intervalo; 0, 2\(\pi\)), derivando, pues al ser la composición diferenciable, deben ser puntos críticos:
$${g}^{1}(t)\eq=-{(\sin(t))}^{3}\cos(t)\eq=0$$
Esta ecuación es fácil, y desprende como soluciones en el intervalo de estudio \(t\eq=0,\;t\eq=\pi,\;t\eq=2\pi\;t\eq=\frac{\pi}{2},\;t\eq=\frac{3\pi}{2}\)
Los puntos 0 y \(2\pi\) los estudio aparte. Reemplazo ahora en la función \(\sigma (t)\), y obtengo los puntos: (-1,0),(0,1),(0,-1). Veo en los puntos de los extremos del intervalo y obtengo (1,0). Luego evalúo f en esos puntos y me fijo quienes son los máximos y los mínimos absolutos.
No usé Lagrange, y salió igual. Noten que si la circunferencia tiene radio r distinto de 1, se arregla fácil. Si en vez de una circunferencia, tenían una elipse, \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\eq=1\), la parametrización \(\sigma (t)\eq=(a\cos(t);b\sin(t))\) anda bien. Y si tenemos una hipérbola de la forma \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\eq=1\) pueden usar \(\sigma (t)\eq=(a\cosh(t);b\sinh(t))\). Todo depende de la función que tengan y el dominio de trabajo. Espero que estos les haya servido.
Yossarian había propuesto que colaboremos con ejercicios para armar una guía. Yo tengo una idea sobre uno, que es el que enuncio a continuación:
$$\textrm{Sea}\;f(x,y)\eq={a}_{j}{x}^{2}+{a}_{i}{y}^{2}-1,\;{a}_{j},{a}_{i}>0,\;numeros\;reales$$
Determinar si f alcanza extremos absolutos sobre la región determinada por la hipérbola \({x}^{2}-{y}^{2}\eq=1\) y las rectas \(y\eq=x,\;y\eq=-x\). Después lo armo mejor.
Ahora si, saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
