[Resuelto!] Uno de Lagrange !

Bueno, hoy posteo un ejercicio resuelto de Multiplicadores de Lagrnage que aparecio en un 2do parcial del 10/12/07. Esto lo hago mas que nada para demostrar que aprendi con lo que me ayudaron aca en el foro, y que el sistema funciona, nos podemos ayudar y aprender unos de otros. (Obviamente, si el ejercicio esta mal, no estoy demostrando lo contrario 🙄 )

Antes que nada, se que todos querian ver una interpretacion audiovisual de lo que es Lagrange y buscando en Youtube encontre un video..

http://es.youtube.com/watch?v=d849khZLOYE

\(\text{Encontrar sus semiejes maximizando y minimizando la distancia entre los puntos}\)\(\text{ de la elipse y su centro}\)

Ok, clasico problema para usar Lagrange, lo que nos piden es hallar los puntos mas alejados y mas cerca del origen. Por que ?? porque dice q el elipse esta centrado en el centro, asi que (imaginenselo) es como un circulo deforme pero regular, va a haber la misma distancia del origen a un punto de un semieje, que a la de otro punto del semieje...sino me creen agarren una hoja y dibujen un elipse (no un elipsoide deforme) centrado en el origen y se convencen (en realidad el ejercicio viene con un dibujito al costado graficando lo que estoy diciendo...)

Y como corno averiguo todo eso??? Con la Norma!! (no, la almacenera no te va a ayudar!!, la otra normaa):

Pero me hago el loco y en vez de eso agarro \(x^{2} + y^{2}\) (justificacion no recomendada para parciales, aunque correcta, una justificacion mas formal seria decir que elevar al cuadrado es una funcion estrictamente creciente y no altera el orden de los max y mins) (en otras palabras, los puntos criticos que me van a quedar son los mismos)

Ok, por otro lado tengo la funcion (que en realidad es una sup de nivel) que me dieron :

Podria intentar buscarle los puntos criticos a eso pero... que gano?? Nada, solo encontrar donde esa funcion tiene maximos o minimos... pero no quiere decir para nada que esos puntos sean los puntos de los semiejes que busco !

Buen, voy a usar Lagrange, esto es, derivar la funcion de ahi arriba y la norma² y resuelvo el sistema:

Ok, agarro los primeros 2 y los resto:

Y aca ya tengo bien claras las posibilidades:

o

Y aca ya no hay mas ciencia, me dan estos 4 puntos:

Evaluando en la norma (ojo, no la norma al cuadrado) sale derecho que el min son los de \(\sqrt{\dfrac{1}{8}}\) y los max los otros dos

Bueno, espero que este bien ! Si notan un cierto desgano al final.... es por razones obvias

Cuidense !

Este me dio igual que a vos Nico pero no pude evitar pasar por alto que no chequeaste que el Gradiente de G se anule.
Otra cosa, yo tenía entendido que Lambda multiplica a G y no a F, es lo mismo?
Gracias

Siempre hay que chequear si el gradiente se anula en algún punto. Tal punto es estudiado por separado(es como un punto crítico análogo al estudio de máximos y mínimos de una función en una variable, cuando en un punto no era derivable). Fijate que vos decís \(\nabla f\eq= \lambda \nabla g\)
Si \(\nabla g\) no se anula, y \(\nabla f\) tampoco, podés despejar \(\lambda\) teniendo \({\lambda}^{-1} \nabla f\eq=\nabla g\)(o sea, de existir tal \(\lambda\) debe ser no nulo). Mirando de esta forma, ves que es lo mismo(igual, en un parcial esto no se asume. Se dice todo). Pero bueno; hay que mirar si se anula el gradiente de \(g\) primero antes de hacer cualquier cuenta.

no entiendo porque toman a la ecuacion como la funcion f(x,y) y a la distancia como la restriccion g(x,y) ??? no seria al reves?? tengo una funcion distancia restringida a una elipse???