Pregunta sobre compacidad

No se si ya la respondieron antes o no, pero pregunto:
Yo se que una elipse es siempre compacta (si no le estoy pifiando horriblemente). La pregunta es cómo demuestro que es compacta.
Digo, ¿En el parcial como hago para probar que un conjunto es cerrado y acotado?
No me parece algo tan trivial, salvo que esté ignorando algo.
Desde ya gracias. Saludos

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Me parece que en un parcial podes dar por hecho que los puntos de una elipse forman un conjunto cerrado y acotado.

Si quisieras demostrarlo, podrias decir algo como lo siguiente.

A cualquier elipse la podes rotar y trasladar para dejar su centro en el origen, y sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas. Las rotaciones y traslaciones no cambian las propiedades que nos interesan. Te queda en la forma canonica:

Podes parametrizarla con la fucion \(\phi(\theta) = (a \cos \theta, b \sin \theta)\) con \(\theta \in [0, 2\pi]\).

El intervalo \([0, 2\pi]\) es obviamente compacto, y la funcion \(\phi\) es continua. Entonces su imagen, que es la elipse, es un compacto. Estoy usando que toda funcion continua va de un compacto a un compacto.

Pero ni en pedo tenes que justificarlo asi en el parcial. Deci que es compacto y ya.

En general, podes usar este truco de parametrizar. O simplemente podes demostrar que es acotado, encontrando un real R tal que el conjunto este contenido en \(B_R(0, 0)\). Y que es cerrado, usando propiedades de la union e interseccion de cerrados (hacerlo por definicion ya seria demasiado exagerado).

Por las dudas poné por qué es compacto. Las sugerencias de fedor todas son suficientes, particularmente la que usa que \(f(X)\) es compacto si \(X\) es compacto y \(f\) continua. Otra es por sucesiones, que en este caso sale bastante bien, pues si la elipse es de ecuación \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\eq=1\) una sucesión de puntos \(({x}_{n},{y}_{n})\) de la elipse debería verificar:

Como \(0 \leq \frac{{x}_{n}^{2}}{{a}^{2}},\frac{{y}_{n}^{2}}{{b}^{2}} \leq \frac{{x}_{n}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{n}^{2}}{{b}^{2}}\eq=1\), las sucesiones \({x}_{n},{y}_{n}\) son acotadas. Por el teorema de Weistrass, existen subsucesiones \({x}_{{n}_{{k}_{i}}},{y}_{{n}_{{l}_{i}}}\) convergentes. Tomando de nuevo una subsucesión de \({x}_{{n}_{{k}_{i}}},{\) para dejar una subsucesión con los mismos subíndices que \({y}_{{n}_{{l}_{i}}}\) encontras una subsucesión de \(({x}_{n},{y}_{n})\) convergente. Esto prueba que es compacto. PD: recién me di cuenta, ¿se prueba en análisis I que un conjunto es compacto sii toda sucesión del conjunto admite subsucesión convergente? me parece que no. Si ese fuera el caso, olviden este post.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Lo que si se prueba y es la forma, a mi entender, mas facil, es que preimagen de cerrado por funcion continua es cerrado.

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Quimey