$${\textrm{Hallar todos los valores a,b $\in{} \mathbb{R}$ de forma tal que f tenga un extremo local en (1,1), donde $f(x,y)= e^{x^2-y}+ax^2+y+b(x-1)^2$}$$
$$\textrm{Sugerencia: De ser necesario utilizar la desigualdad $e^t-t\geq1$}$$
Puse semi en el asunto porque no se si lo hice bien. 😄
\(\triangledown f(x,y)=(e^{x^2-y}.2x+2ax+2b(x-1),e^{x^2-y}.-1+1)\)
$$\triangledown f(x,y)=o$$
$$f_y=-e^{x^2-y}+1=0 \Longrightarrow e^{x^2-y}=1 \Longrightarrow {x^2-y=0 \Longrightarrow x^2=y$$
$$\textrm{Directamente reemplazo:}$$
$$f_x=e^{x^2-x^2}.2x+2ax+2b(x-1)=0$$
$$2x+2ax+2bx-2b=0 \Longrightarrow x+ax+bx-b=0$$
$$\textrm{Recordando que nos piden que el punto (1,1) tenga el extremo local reemplazamos y:}$$
$$1+a.1+b.1-b+0\Longrightarrow a=-1$$
$$\textrm{Pero Tambien hay que pedir que no sea punto silla, porque sino no seria un extremo local, entonce el det H >0}$$
$$f_{xx}=e^{x^2-y}.2x.2x+e^{x^2-y}.2+2a+2b$$
$$f_{yy}=e^{x^2-y}$$
$$f_{xy}=e^{x^2-y}.2x.-1$$
$$\textrm{Reemplazando el a, y el punto (1,1)}$$
$$H=\left(\begin{matrix} {4+2b}& -2 \\ -2 & 1\end{matrix}\right)\Longrightarrow \det H=4+2b-4=2b>0\Longrightarrow b>0$$
\(\textrm{Y ahora falta el caso particular de $b=0$ (les arruino el final, es un punto silla) }\) 😄
$$\textrm{Nos queda la siguiente funcion si tomamos $a=-1$ y $b=0$}$$
$$f(x,y)= e^{x^2-y}-x^2+y$$
$$\textrm{Entonces usando la sugerencia y evaluando en $f(x,0)$, nos queda la desigualdad que obviamente jamas se me ocurrio dudar de su veracidad}$$
$$\textrm{Pero usando otra como $f(0,y)$ con $y<0$ nos da otro numero, asi que mi respuesta es :}$$
\(\displaystyle{a=-1, b>0}\)
Espero no haberle pifiado en nada.
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