[Parcial 27/03/08] Convergencia!!

Buenas, les cuento del ejercicio, donde me trabé...

3. Analizar la existencia de la sig. integral :

(integ. de 1 a +inf) de : { 1 / [ x * sqr(x^2 - 1) ] } dx

Los "problemas" de esta impropia son en los extremos que esta definida. Partiendo la integral en un "R" cualquiera, usando el criterio de comparación puedo decir que la integral impropia de R a +inf converge (compare con 1 / x^2). Pero no puedo decir nada acerca de la convergencia de la integral impropia de 1 a R... Sugerencias??

Gracias

\(\frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x \sqrt{x+1}}*\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) como el primer factor esta acotado cerca de 1 basta analizar la convergencia del segundo factor, pero ese se integra facil (le encontras una primitiva) y te da que la integral converge.
Cualquier cosa que no se entienda pregunta, igual no confies 100% en mi que para acotar soy un desastre.

Gente, buscando un poco MAS de teoria, vi que con el criterio de comparación vale un mágico si y solo si.. Es decir, si tomo el limite de f / g = k (x -> +inf) y k > 0, entonces, si g converge o DIVERGE, puedo afirmar que f lo hace igual.. Esto es asi??

Vale mas todavia:
Si \(\frac{f}{g}\rightarrow k \neq 0\) y f converge entonces g lo hace.
Si \(\frac{f}{g}\rightarrow k \neq \infty\) y f diverge entonces g lo hace.

Ahi va el detalle, si bien Quimey me re ganó en términos de velocidad. No importa... pongo lo que ya escribí:
Tenés \(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}-1}}\,dx\). Bueno, en \(1\) no está bien definida, así que la partís, digamos, en \(2\)(yossa propondría una idea más exótica: \({e}^{\pi}\). Realmente no influye en el caso)
Tenés \(\int_{1}^{2}\frac{1}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}-1}}\,dx\). Es una función positiva, con lo que valen todos los criterios(comparación, por límite).
Ahora, resulta \(\frac{\frac{1}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}\eq=\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\) cuando hacés \(x\rightarrow {1}^{+}\).
Como \(\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\,dx\eq=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)(hice el cambio \(x-1\eq=t\)), y esta integral converge, porque es armónica de \(p\eq=\frac{1}{2}<1\), tenés la convergencia de la que te interesa, por el criterio de comparación.
Luego, sumando el análisis que vos dijiste, tenés que la integral converge.
Espero que ayude. Saludos.(jajaja, dije esta frase hace poco, y la vuelvo a repetir. Qué rápido que escribió Quimey; eso que me descuidé tan solo unos segundos...)

Edit: gracias Quimey. Es lamentable lo que había posteado antes.

Editado 2 veces.

Creo que le pifiaste en algo,\(\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}\) no converge entre 0 y 1 porque una primitiva es \(C \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\) que si lo evaluas en 0 te da infinito.

Ya esta! Acotaste bien pero demasiado bruto, hay que hacer algo mas fino. x no tiene problemas entre 1 y 2 y vos lo cambias por x-1 que tiene problemas.
Deberias acotar con x>1

Editado 1 vez.

Si, tenés razón. Pasa por no pensar lo suficiente. Gracias por la indicación... jaja, un desastre lo que hace esta hora. Ahora lo cambio.
PD: tenés razón. Encima lo cambié todo(en realidad, miento. Eso que puse ahora es exactamente lo que decís, pero bueno...)... gracias.

exequiel131719 escribió:

Ahora, resulta \(\frac{\frac{1}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}\eq=\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\rightarrow \frac{1}{2}\) cuando hacés \(x\rightarrow {1}^{+}\).

Disculpa, pero vi un pequenio detalle, si estoy equivocado es porque ya deberia estar durmiendo.

Si, gracias por el aviso. Ahi lo cambié