Buenas gente, estoy trabado con esta integral impropia...
Analizar la existencia de la siguiente integral impropia:
(integral de 3 a +inf) de : [cos^2(e^x) / sqr(x)] * sen(1 / 3x) dx
Si mal no me equivoco la funcion en (3, +inf) es positiva, con lo cual se podría usar comparación. Pero en cualquier caso llego a un limite que me da 0, y todo contra lo cual comparo diverge, por ende no puedo asegurar nada de mi impropia.
Si la integral que decís es \(\int_{3}^{+\infty}\frac{{\cos}^{2}({e}^{x})}{\sqrt{x}}\sin(\frac{1}{3x})\,dx\), yo digo:
Para no meterte con intervalos de positividad y demás, tomás módulo, y tenés:
Pero \(\int_{3}^{+\infty}\frac{1}{3{x}^{\frac{3}{2}}}\,dx\) converge(pues es una integral armónica de \(p>1\)), con lo que por el criterio de comparación, la primera integral converge, siguiendo que por converger absolutamente, converge la integral en cuestión(estoy usando que convergencia absoluta implica convergencia. Nuevamente, no hace falta convergencia absoluta, pero no hace nada si converge bien...)
Si esa era la integral, esa es la idea. Sino, avisá. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities