Analizar si la siguiente integral impropia converge
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{5/2} + {t}^{6}}dt$$
Tema
[No Resuelto] 3/7/08 - Tema 3 - Ej. 3 - 1º Parcial
Observá que \(f(t)\eq=\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}\geq 0,\forall t>0\). Luego, podemos aplicar criterio de comparación y criterio del cociente. Además, separemos la integral, puesto que en el 0 la función tiene problemas de definición:
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}dt\eq=\int_{0}^{1}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}dt+\int_{1}^{+\infty}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}dt$$
Ahora bien, estudio la primera integral. Observá:
\(\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}\leq \frac{3{t}^{2}}{{t}^{\frac{5}{2}}(1+{t}^{\frac{7}{2}})}\leq \frac{3{t}^{2}}{{t}^{\frac{5}{2}}}\eq=\frac{3}{{t}^{\frac{1}{2}}}\).
Pero \(\int_{0}^{1}\frac{3}{{t}^{\frac{1}{2}}}dt<\infty\)(es decir, converge; es una integral patrón). Siguiendo la cadena de desigualdades y siendo f positiva, concluímos que \(\int_{0}^{1}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}dt\).
Estudio la segunda integral. Observá:
\(\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}\leq \frac{3}{{t}^{\frac{5}{2}}(1+{t}^{\frac{7}{2}})}\leq \frac{3}{{t}^{\frac{5}{2}}}\).
Pero \(\int_{1}^{\infty} \frac{3}{{t}^{\frac{5}{2}}}dt<\infty\)(converge; es una integral patrón), luego siguiendo la cadena de desigualdades se concluye \(\int_{1}^{+\infty}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}dt<\infty\).
Luego ambas integrales convergen. Se concluye...
\(\int_{0}^{+\infty}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}dt<\infty\), es decir, converge.
Fijate si fui claro. Ante cualquier duda, avisá. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Como no se me ocurrio lo de la 1º interal???
Ppodes creer q en el parc queria integrar eso?
Ahora estaria estudiando para el rec del 1º
Gracias.
Pregunta:
si yo comparo
\(\frac{3{\sin}^{2}(t)}{{t}^{\frac{5}{2}}+{t}^{6}}= \frac{3{\sin}^{2}(t)}{t^{\frac{5}{2}}(1+t^{\frac{7}{2}})}\) con \(\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\)
Entonces
$$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{ \frac{3{\sin}^{2}(t)}{t^{\frac{5}{2}}(1+t^{\frac{7}{2}})}}{\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{3{\sin}^{2}(t)}{t^{2}(1+t^{\frac{7}{2}})}}}=3$$
Pero la de abajo diverge... Que estoy haciendo mal?
Firma
Diverge en el infinito, ahi lo haces tender a 0...
Como dice Maxtwo, \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx\) con \(0 < p < 1\), converge.
Momento, el criterio dice si la integral converge => la otra integral converge????
Yo creía que era "si el límite g tal cosa => el límite f tal cosa"...
Si dice eso. Es un si y solo si en el caso en el que el limite es finito y no nulo. Ojo que f y g tienen que ser positivas en el intervalo.
En la pagina 16 esta el enunciado del teorema (2.11): http://cms.dm.uba.ar/Members/glaroton/N ... t_en_R.pdf