si alguien lo puso hacer y lo puede postiar wenisimo... no tengo el enunciado aca :S
dps cuando llegue a casa lo subo.
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[Resuelto]El 6 de los de Becker
que tipo ansioso che, espera al lunes!
El enunciado era... estudiar la convergencia de:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx$$
Notemos que el denominador se anula en x=0... esto nos dice que la separemos en dos integrales impropias y estudiemos por separado la convergencia de cada una. Sean estas dos integrales:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx\eq=\int_{0}^{1} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx+\int_{1}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx$$
Sea \(f(x)\eq=\frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}\). Es fácil probar que \(f(x)>0,\;\forall x>0\) (basta probar \({e}^{-x}\leq1 \;\forall x\geq0\))
Luego estamos en condiciones de aplicar los criterios del cociente y comparación. Analicemos \(\int_{0}^{1} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx\). Para ello, comparemos con \(g(x)\eq=\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}\)
Usemos el criterio del cociente:
$$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}} \frac{\frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}}{\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}}\eq=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}} \frac{1-{e}^{-x}}{x}\eq=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}} {e}^{-x}\eq=1>0$$
Luego, el criterio del cociente asegura que:
$$\int_{0}^{1} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx<\infty \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}dx<\infty$$
Pero \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}dx<\infty\), dado que g es continua en tal intervalo. Luego, converge la integral estudiada.
Estudiemos \(\int_{1}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx\). Comparémosla con \(\frac{1}{{x}^{2}}\)
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}}{\frac{1}{{x}^{2}}}\eq=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1-{e}^{-x}}{{x}^{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}}{\frac{1}{{x}^{2}}}\eq=1>0$$
Nuevamente,\(\int_{1}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx<\infty \Leftrightarrow \int_{1}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}}dx<\infty\)
Esta última converge, con lo que \(\int_{1}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx<\infty\)
Como cada integral converge, se concluye que converge \(\int_{0}^{\infty} \frac{1-{e}^{-x}}{x\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}}dx\)
Aca puse la resolución. Fíjense si está bien, porque lo hice rápido. Espero haber ayudado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Bastante entendible.
me ayudo bastante
mi problema con las impropias es q me olvido q no hace falta ver a q convergen! tonces trato de resolverlas y es al pedo! 😛
ahora lo voy a tener mas presente 🙂
thank you
Esta bastante bien, yo hice algo parecido, pero estudiando la convergencia de
$$\frac{1}{x\cdot%20\sqrt{{x}^{2}+1}}dx$$
porq es siempre mayor a la que dieron
En el parcial se puede mandar eso de una ,osea "si es continua en este intervalo converge",habria q justificar algo,no? si ese es el caso estaria bueno q alguien me contase como se justifica =)
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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
Es un teorema; si una función es continua sobre un intervalo cerrado, es integrable en ese mismo intervalo. Vale decir, es solo un teorema; enuncialo en el parcial y listo(esto se debe a que es continua y está sobre un compacto, entonces es uniformemente continua. Usando esto demostrás fácil el dado teorema)
ah buenisimo,era ese teorema,claro yo no lo habia identificado porq no caía que "que sea integrable" significaba q converja,dicho esto el ejercicio queda resumido a un par de renglones,solo es cuestion de encontrar una función linda,continua en ese cerrado q se parezca a la q tengo....
No es demasiado corto? jaja
Depende del ejercicio; aca tuve suerte, pero puede no suceder que quede manejada la función con una que sea continua y ya esté. Fijate que para la otra integral no tuve tanta suerte.