Ok, dejo este de impropias..
$$\text{Analizar la existencia de la siguiente integral}$$
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^2 -1} } dx$$
Tema
[Resuelto]Uno de impropias
Comparala con
\(g(x) = \frac{1}{x^2}\).
Saludos!
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Yo la compararía con \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)... ¿La jugamos en el quini?
se, esa ultima me gusto mas porq \(g(x) = \frac{1}{x^2}\) es siempre menor a la q postie.... pero... \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)converge? el mathematica me dice q no 🙁
Ojo, hay problemas en 1 y en \(\infty\). Hay que separar en un punto intermedio (yo siempre lo separaba en \(\frac{\pi}{e}\)) y después fijarse qué onda en cada lugar por separado.
Separala en un punto intermedio, la que yo puse te sirve para compararlas en el infinito con el criterio de paso al límite.
La otra que pusieron te sirve para comparar entre 1 y el punto que hayas elegido.
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^2%20-1} } dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x\sqrt{x^2 -1} } dx + \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^2 -1} } dx$$
$$g(x) = \frac{1}{x^2}$$
Y cuando tomas limite de f/g para x en el infinito da 1, por lo tanto sus integrales impropias se comportan igual. Como la integral de g entre 1 y +inf converge, entre 2 y mas converge, por lo tanto la integral de f entre 2 y +inf converge.
Falta ver la integral entre 1 y 2. Comparala con la que te propuso Yossarian, nuevamente haciendo limite de f/g pero esta vez con x tendiendo a 1 por derecha, y tambien vas a concluir que las integrales entre 1 y 2 se comportan igual blabla. La integral de \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}\) se calcula facil y es un numero asi que converge, luego la otra converge, luego todo converge.
Listo, muchas gracias a ambos dos !
Quedé un poco intrigado por la respuesta de Yossarian (qué bueno Catch-22!), por qué \(\frac {\pi} {e}\)? Me imagino que pi tiene ventajas cuando las primitivas son trigonométricas, viene por ese lado?
porque \(\pi \over e\) está entre 1 e \(\infty\). La idea es que si alguien justo se distrajo, si registra que dije "pi sobre e", va a pensar "¿¿¿QUÉ???", y va a despabilarse un poco. Es un motivo estético y molesto, no tiene nada de matemático. Era simplemente una manera de resaltar que podés cortar en cualquier lugar en el que no haya problemas.
Y sobre Catch-22, un amigo dijo que jamás pensó que alguien pudiera hacerte reír tanto simplemente agregándole un "non-" adelante de un adjetivo. Varias veces.
Coincido plenamente.