Una contribución modesta, de una integral de una región sencilla. Si alguien puede, que ponga la imagen de las dos regiones que quedan
$$\textrm{Sea\;el\;rombo\;de\;vertices}\;(2;0),\;(0;-1)\;(-2;0)\;(0;1)$$
$$\textrm{Hacer\;un\;cambio\;de\;variables\;adecuado\;para\;calcular}$$
$$\int_{R}{e}^{x-2y}\cos(x+2y)dA$$
Si llamamos \(x-2y\eq=u,\;x+2y\eq=v\), despejamos y quedan \(x\eq=\frac{u+v}{2},y\eq=\frac{v-u}{4}\). Si ahoran calculan el jacobiano, queda \(\frac{1}{4}\).Si calculan la imagen del rombo R, queda el cuadrado D de vértices (-2;-2), (-2;2), (2;-2), (2;2). Luego...
$$\int_{R}{e}^{x-2y}\cos(x+2y)dA\eq=\frac{1}{4}\int_{D}{e}^{u}\cos(v)dA$$
$$\frac{1}{4}\int_{-2}^{2} \int_{-2}^{2}{e}^{u}\cos(v)\;dudv\eq=\frac{1}{4}(\int_{-2}^{2}{e}^{u}\;du)\cdot (\int_{-2}^{2}\cos(v)\;dv)$$
Las dos integrales que quedaron ahora son inmediatas. Se calculan, multiplican por el 1/4, y termina el ejercicio.
Espero haber sido claro( y no haber cometido algún error). Nuevamente, saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities