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[Resuelto] 17/12/07 - Ej 5

17 respuestas 15374 visitas 2008-07-02

#1 Diana 2008-07-02 18:59

Si alguien lo hizo o tiene ganas de pensarlo, al menos que me digan coordenadas me conviene tomar...

Hallar el volumen de la región encerrada por el elipsoide $x^2/4+y^2+z^2=4$ que se encuentra encima del paraboloide $x^2/4+y^2=3z$

el gráfico se ve así:

#2 exequiel131719 2008-07-02 21:18

Yo pensé lo siguiente; tengo un elipsoide, que es una esfera deformada. Entonces, la ''reformo'':

\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}+{z}^{2}\eq=4

\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{z}^{2}}{4}\eq=1

{(\frac{x}{4})}^{2}+{(\frac{y}{2})}^{2}+{(\frac{z}{2})}^{2}\eq=1

Llamo $\frac{x}{4}\eq=u,\;\frac{y}{2}\eq=v,\;\frac{z}{2}\eq=w$; queda la transformació�lineal $T(u,v,w)\eq=(4u,2v,2w)$ cuyo jacobiano es 4.2.2=16. Luego(esta transformación es una biyección, con lo que no hay complicaciones con el teorema de cambio de variable), escribo:

\int_{\mathbb{W}} dV\eq=\int_{\mathbb{{W}^{\ast}}} 16\;dV\eq=16\int_{\mathbb{{W}^{\ast}}} dV

Pero esta última región queda determinada ahora...(no hago los despejes, son fáciles)

{u}^{2}+{v}^{2}+{w}^{2}\eq=1

{u}^{2}+{v}^{2}\eq=\frac{3}{2}w

Y conseguí ''reformar'' las dos regiones, porque quedaron superficies con ''secciones'' circulares. Uso ahora coordenadas cilíndricas:

{r}^{2}+{w}^{2}\eq=1

{r}^{2}\eq=\frac{3}{2}w

Ya casi estamos; el ángulo de barrido horizontal, varía $0\leq \phi <2\pi$. Estudio la intersección de las superficies...

\frac{4{r}^{4}}{9}\eq=1-{r}^{2}

Como solo me interesan las soluciones positivas, encuentro $\frac{\sqrt3}{2}$. Luego, $0\leq r \leq \frac{\sqrt3}{2}$ Finalmente, despejando del principio, tengo acotado w: $\frac{2{r}^{2}}{3}\leq w\leq \sqrt{1-{r}^{2}}$ Luego, queda:

\int_{\mathbb{{W}^{\ast}}} dV\eq=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \int_{\frac{2{r}^{2}}{3}}^{\sqrt{1-{r}^{2}}} r\;dwdrd\phi

Después la integral que queda es sencilla. La multiplicamos por 16(el número que veníamos acumulando) y listo.
Espero que se entienda y este bien. Saludos

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Editado 1 vez.

#3 Nico? 2008-07-02 21:32

q resolucion bizarra che
es muy como lo hubiera hecho yo, si se me ocurria =(
estuve pensando como una hora =S

#4 exequiel131719 2008-07-02 21:56

De igual manera, el ejercicio estaba ''muy pensado''; fijate que quedó un paraboloide de secciones circulares. Si hubieae quedado con secciones elípticas, la situación sería fea. De igual manera, se puede hacer esta integral a mano; no se si es recomendable, pero bueno...

#5 Pape 2008-07-02 22:05

el intervalo de w no va desde (2/3) r^2 a la raiz esa??

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

#6 exequiel131719 2008-07-02 23:07

si, no se qué quise poner. Perdón

#7 Diana 2008-07-02 23:12

Graciaaas! me iluminaste el día, nunca se me habria ocurrido una transformación asi... estoy muy cerrada a buscar directamente coordenadas cilindricas, esfericas, etc...

#8 Ric 2008-07-03 02:55

😮 ....

Como que querian desaprobar a algunos con ese ejercicio o me parece? jajajaj

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#9 nadia 2008-12-04 03:06

hay un despeje de los fàciles que no entiendo... es este y es cuando pusistes ${u^2+v^2=\frac{3}{2}w}$
no deberia daralgo asi como ${u^2+v^2=6w}$ pensando que como w=z/2 -> 2w=z -> 3.2.w = 3.z -> 6w= 3z ??? o el despeje no venia por este lado??

--------------------------- ❓ ---------------------

grax!

#10 exequiel131719 2008-12-04 04:00

Tuve que recapitular, porque me había olvidado de lo que había hecho, y ni yo veía el despeje(así que tan inmediatos no eran...)

\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}\eq=3z

Pero sabés que la sustitución tiene $\frac{x}{4}\eq=u$, y no tenés eso(tenés un cuadrado, en el denominador tendrías que tener un 16). Entonces, dividís miembro a miembro por $4$:

\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}\eq=3\frac{z}{2}\cdot \frac{1}{2}

Ahora usás que ${(\frac{x}{4})}^{2}\eq={u}^{2},\;\frac{{y}{2}}^{2}\eq={v}^{2},\;\frac{z}{2}\eq=w$. Con todas las sustituciones tenés:

{u}^{2}+{v}^{2}\eq=\frac{3w}{2}

Espero que ahora se vea. Perdón por no ser tan explícito antes. Saludos.

#11 .-Eze-. 2009-06-29 19:36

exequiel131719 escribió:

Yo pensé lo siguiente; tengo un elipsoide, que es una esfera deformada. Entonces, la ''reformo'':
$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}+{z}^{2}\eq=4$ $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{z}^{2}}{4}\eq=1$ ${(\frac{x}{4})}^{2}+{(\frac{y}{2})}^{2}+{(\frac{z}{2})}^{2}\eq=1$
Llamo $\frac{x}{4}\eq=u,\;\frac{y}{2}\eq=v,\;\frac{z}{2}\eq=w$; queda la transformació�lineal $T(u,v,w)\eq=(4u,2v,2w)$ cuyo jacobiano es 4.2.2=16. Luego(esta transformación es una biyección, con lo que no hay complicaciones con el teorema de cambio de variable), escribo:
$\int_{\mathbb{W}} dV\eq=\int_{\mathbb{{W}^{\ast}}} 16\;dV\eq=16\int_{\mathbb{{W}^{\ast}}} dV$
Pero esta última región queda determinada ahora...(no hago los despejes, son fáciles)
${u}^{2}+{v}^{2}+{w}^{2}\eq=1$ ${u}^{2}+{v}^{2}\eq=\frac{3}{2}w$ Y conseguí ''reformar'' las dos regiones, porque quedaron superficies con ''secciones'' circulares. Uso ahora coordenadas cilíndricas:

a que te referis con "secciones" circulares? ... osea, entiendo lo que haces, pero no entiendo el porque te sirve hacer eso que haces Oo...ni porque no podias usar de una al principio coordenadas cilindricas y despues si...

PD: Que programa usan para hacer esos graficos?? Oo..

#12 exequiel131719 2009-07-01 06:24

Quise decir que fijado $w$, en el plano $uv$ tenés circunferencias. Hago esto primero, porque las cilíndricas son útiles para superficies con simetría circular. Fijate que hacer cilíndricas de una no te queda bien, porque las secciones(mirando en el plano $uv$) son elípticas. Mirá el gráfico para entender que la simetría no es la que sirve
NOTA: podés hallar las "cilíndricas elípticas", que son hacer todo esto de una. Si te referías a eso, tenés toda la razón.

#13 .-Eze-. 2009-07-01 19:11

a ver si entendi...

vos decis que para poder usar coordenadas cilindricas, la ecuacion esta --> $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}+{z}^{2}\eq=4$ tendria que estar igualada a 1 en vez de a 4, no? y de esa manera, me queda una esfera y queda una simetria con respecto de w, no?...sino hago esto, y uso coordenadas cilindricas de una, y resuelvo la integral que queda, me va a dar un valor diferente porque no habia una simetria con respecto de w?

ahora, si yo tengo un ejemplo de dominio asi :$x^2+y^2\leq z$; $x^2 + y^2 + z^2 \leq 6$ ...puedo usar coordenadas cilindricas de una? :S...

muchas gracias y perdona las molestias!..

saludos...

#14 exequiel131719 2009-07-01 19:24

No, no quise decir eso que varía el resultado; podés usar coordenadas cilíndricas igual. Te muestro lo que pasa, creo que es mejor:
Si dividís todo por $4$, te queda $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{z}^{2}}{4}\eq=1$
Si querés usar coordenadas cilíndricas, con altura el $z$, no vas a poder bien de una porque:

\frac{{r}^{2}{\cos}^{2}(\phi)}{16}+\frac{{r}^{2}{\sin}^{2}(\phi)}{4}+\frac{{z}^{2}}{4}\eq=1

Y no podés sacarte los $\cos,\sin$, por la ausencia de simetría circular. Sin embargo, podés tomar la simetría sobre $yz$, haciendo:

y\eq=r\cos(\phi)

z\eq=r\sin(\phi)

y te queda $\frac{{x}^{2}}{16}+{r}^{2}\eq=1$ Pero en la otra superficie, tenés que reemplazar $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}\eq=3z$ no te va a quedar bien con esta sustitución(hacé la cuenta) Por eso hago ese cambio de variables; para poder hacer cilíndricas sobre $xy$. Perdón si no soy suficientemente claro.

PD: en el dominio que pusiste, fijate que te queda bien de una con cilíndricas.

#15 .-Eze-. 2009-07-01 20:09

Me parece que no me explique bien, lo que yo habia intentado hacer y que quise hacer fue esto, osea, hacer lo mismo sin dividir por 4 la ecuacion:

(\frac{x}{2})}^{2}+y^2+z^2=4

u=\frac{x}{2}

$$v=y$$

$$w=z$$

y entonces usando coordenadas cilindricas me quedaria:

$r^2+w^2=4$ y $r^2=3w$

y los limites de integracion quedarian:

0 \leq r \leq 1

\frac{r^2}{3} \leq w \leq \sqrt[2]{4-r^2}

y faltaria el jacobiano que valdria 2...

esa era mi duda, si puedo hacer eso de "una", sin dividir por 4 XD...y si en el dominio que te pase, habria que dividir por 6 tambien Oo...

perdona las molestias 😳 ...

#16 exequiel131719 2009-07-01 20:19

ah, a eso te referías. ¿Por qué no podrías hacerlo? Está bien lo que hiciste. El jacobiano sería $2$ de la primera transformación, si.

#17 .-Eze-. 2009-07-01 20:49

exequiel131719 escribió:

ah, a eso te referías. ¿Por qué no podrías hacerlo? Está bien lo que hiciste. El jacobiano sería $2$ de la primera transformación, si.

ah buenisimo, gracias exe!..

la duda tambien me habia surgido porque despues de que calculé las 2 integrales (la que habias posteado vos como resolucion y la que me habia quedado a mi), me dieron valores diferentes (aunque parecidos, y por eso en el otro post te preguntaba si me daba cualquier valor si calculaba ese volumen haciendo lo mismo que vos pero sin dividir por 4 la ecuacion del elipsoide)...pero debe ser que me abre confundido en alguna cuenta al calcularlas entonces y que por eso me dieron diferentes 😳 ..

saludos!

#18 .-Eze-. 2009-07-02 19:28

.-Eze-. escribió:

y los limites de integracion quedarian:
$0 \leq r \leq 1$ $\frac{r^2}{3} \leq w \leq \sqrt[2]{4-r^2}$

hoy lo hicieron en clase, ya me di cuenta de porque me daban valores diferentes, me habia confundido en un limite de integracion, soy un boludo XD...en vez de $0 \leq r \leq 1$ queda $0 \leq r \leq \sqrt[2]{3}$ XD...

saludos!..