Bueno acá está un ejercicio que había prometido; espero que esté bien. Después Cloud me dijo que subía una idea de la región elemental determinada... pero creo que el gráfico que quede va a ser horrible y no va a ayudar.
Lamentablemente no logro visualizar adecuadamente al anillo, en el sentido que no veo un ''anillo''. Pero bueno, no importa; podemos calcular igual el volumen Para ello, usaremos coordenadas esféricas:
$$x\eq=r\cdot \cos{\phi} \cdot \sin{\theta}$$
$$y\eq=r\cdot \sin{\phi} \cdot \sin{\theta}$$
$$z\eq=r\cdot \cos{\theta}$$
Si miran bien, las condiciones impuestas sobre el ''añillo'' quedan:
Ahora bien, notemos que este ángulo es el que ''barre'' sobre el eje z. Luego, notemos que podemos ''invertir'' la desigualdad, porque en caso de ser el coseno o seno cero, la desigualdad no se verifica(si tienen el gráfico en mente, mejor). Queda...
Después sumo cada resultado y listo. No lo voy a hacer, por son integrales que salen fácil.
Este ejercicio tenía una segunda parte que pedía calcular las coordenadas del centro de masa. Es más de lo mismo, y molesto. ¿Por qué ponen ejercicios que deberían ser para los físicos en una materia que se llama Análisis Matemático? Entiendo que es para mostrar aplicaciones, pero... va, no se. Son tres integrales más que faltan no mucho más complicadas. Bueno, espero que esté bien y se entienda. Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
La materia no es para matemáticos. Para matemáticos son las materias de fin de carrera y principios de doctorado. Por lo menos hasta fin de segundo año, las materias se dan a un nivel que debería ser accesible a cualquier estudiante de Exactas, y por un buen motivo: todavía no sabés lo suficiente como para diferenciarte marcadamente de los estudiantes de física o de química. Por ahí tus intereses se van para otro lado, pero nien pedo es una cuestión de carreras. La gente de física también detesta esos estúpidos ejercicios de integral triple para hallar el centro de masa, y la gente de química odia esos estúpidos ejercicios de ecuaciones diferenciales para hallar la tasa de disminución de la concentración de la sal en la solución X, pero no por la carrera, sino porque son ESTÚPIDOS. Va con onda, pero ya lo dije un montón de veces: las prácticas necesitan que alguien las agarre y les pegue un buen sacudón. Nadie en su sano juicio en física haría esta cuenta. Querer calcular el centro de masa de ESA COSA es no entender qué carajo es el centro de masa.
Les dejo uno más lindo: Tomemos una pelota sólida (es decir, en una buena aproximación, la tierra) y supongamos que su densidad depende únicamente de cuán lejos estamos del centro (es decir, la densidad puede pensarse como\(\rho(r)\), con \(r\) la distancia al centro de la tierra). Demostrar entonces que el centro de masa está en el centro de la tierra.
Fíjense que es muy razonable, y no hay que hacer integrales espantosas, sino entender cómo funciona la función y la integral. Me parece que este ejemplo deja muy en claro por qué funciona la integral. Si alguien lo resuelve, dejo más comentarios. Por ahora no quiero quemar la solución.
Aportando otro poco... Fíjense que hay que agregar la condición de que \(z>0\). Si no, tenés densidad negativa. De hecho, siendo todas las condiciones simétricas en x en y y en z (es decir, si cambias x por -x no cambia nada en realidad), se ve que la integral sobre la dona de arriba debería ser igual a menos la de la dona de abajo. Haciendo las ceuntas a ciegas, les daría que el centro de masa debería ser cero... cosa muy cierta si le ponen antimateria al bicho de abajo, pero si no no.
Si se prenden yo propongo que en algún momento recopilemos comentarios sobre las prácticas, y preparemos nuevas guías para, digamos, el año que viene (tiempo al tiempo...)
Para calcular el centro de masa, tendrías que hacer 6 integrales. Ahora, quiero responder(o al menos tratar) el ejercicio de Yossarian, que no es un mal ejercicio, y va a ayudar para el recuperatorio. Lo voy a poner en el thread ''Ejercicio de parcial propuesto por Yossarian'', en ejercicios de integrales dobles y triples.
Entonces... Donde hay que juntarse para armar una nueva practica de analisis y proponerla?
Y que no cambie cada anio asi tenemos en este foro de forma ordenada cada respuesta.
